Feladat: Gy.3069 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Czirok Levente ,  Fazekas Borbála ,  Frenkel Péter ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Gyurkó L. Gergely ,  Hangya Balázs ,  Jeszenszky Gyula ,  Juhász András ,  Kacsuk Zsófia ,  Lippner Gábor ,  Mátrai Tamás ,  Szabó Gábor ,  Szabó Jácint ,  Szilágyi Judit ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Várkonyi Péter ,  Zakariás Ildikó ,  Zawadowski Ádám ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1997/január, 22 - 23. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tetraéderek, Térfogat, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/május: Gy.3069

Adott a térben 1996 pont, amelyek közül semelyik négy sincs egy síkban, és bármelyik négy által meghatározott tetraéder térfogata kisebb mint 0,037. Mutassuk meg, hogy létezik egy egységnyi térfogatú tetraéder, amely mind az 1996 pontot a belsejében tartalmazza. (H)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1996 pont véges sok tetraédert határoz meg. Legyen ABCD ezek közül egy olyan tetraéder, amelynek a térfogatánál nincs nagyobb térfogatú a pontok által meghatározott tetraéderek között. Legyen SA az az A-n átmenő sík, amelyik párhuzamos a BCD háromszög síkjával. Ekkor az 1996 pont mindegyike az SA síknak ugyanazon az oldalán kell legyen, mint ahol B, C és D is van (SA is tartalmazhat A-n kívül további pontokat), ugyanis egy E pont a sík másik oldalán lenne, akkor az EBCD tetraéder térfogata az ABCD tetraéder térfogatánál nagyobb lenne (1. ábra), hiszen E messzebb lenne a BCD síktól, mint A. Ugyanígy láthatjuk be, hogy a B, C és D pontokon átmenő, a velük szemközti lapokkal párhuzamos SB, SC és SD síkoknak is megvan az a tulajdonságuk, hogy az 1996 pont mindegyike ugyanazon az oldalukon van, ahol az ABCD tetraéder. Ezért az SA, SB, SC és SD síkok által meghatározott A'B'C'D' tetraéder az 1996 pont mindegyikét a belsejében, vagy a lapjain tartalmazza.
Jelöljük az ABCD tetraéder súlypontját S-sel. Ismert, hogy az S súlypont 1:3 arányban osztja a tetraéder súlyvonalait (2. ábra). Ezért az S középpontú, -3 arányú középpontos hasonlóság az ABCD tetraédert az A'B'C'D' tetraéderbe viszi. Tehát az A'B'C'D' tetraéder térfogata 33=27-szerese az ABCD tetraéder térfogatának. Mivel ez utóbbi térfogat kisebb, mint 0,037, ezért az A'B'C'D' tetraéder V térfogatára igaz, hogy

V<0,03727=0,999.
Nagyítsuk az A'B'C'D' tetraédert S-ből (1/V3)-szeresére. Mivel V<1, azért (1/V3)>1, tehát a nagyítás után kapott A''B''C''D'' tetraéder az 1996 pont mindegyikét a belsejében tartalmazza. E tetraéder térfogata a nagyítás miatt V(1/V3)3=1, tehát feladatunk minden követelményének megfelel.
 Szabó Gábor (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján