Feladat: Gy.3053 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Reviczky Ágnes 
Füzet: 1996/december, 527 - 528. oldal  PDF file
Témakör(ök): Téglatest, Terület, felszín, Térfogat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/március: Gy.3053

Egy téglatestet három egymás utáni vágással 2, 4, majd 8 téglatestre vágunk. Tudjuk, hogy a keletkezett testek összfelszíne minden egyes vágásnál ugyanannyiszorosára nő. Mutassuk meg, hogy ekkor az eredeti téglatest térfogata éppen kétszerese a beleírható legnagyobb kocka térfogatának.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a téglatest oldalait a, b és c-vel, felszínét pedig F-fel. Három vágás után az eredeti felszín éppen megduplázódik (minden lappal párhuzamosan pontosan egyszer kell vágnunk, hogy végül 8 kis téglalap legyen), ezért minden vágásnál 23-szeresére nő a felszín. Ezt mindhárom vágásra felírva:

23F=F+2bc,23(F+2bc)=F+2bc+2ac,23(F+2bc+2ac)=F+2bc+2ac+3ab.
Az első és a második, illetve a második és a harmadik egyenletet egymásból kivonva kapjuk, hogy
a=23b,illetveb=23c.
Tehát a téglatest három éle c-vel kifejezve: c, 23c és 43c, térfogata pedig 2c3.
A téglatest legkisebb éle c, így a beírható legnagyobb kocka térfogata c3, ami éppen a téglatest térfogatának a fele.
 Reviczky Ágnes (Budapest, Szt. István Gimn., II. o.t.)