Feladat: F.3139 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Fejérvári Bence ,  Horváth Gábor ,  Jeszenszky Gyula ,  Kormos Márton ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Németh András ,  Pogány Ádám ,  Prause István ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Tóth Ádám ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh A. László ,  Vörös Zoltán ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1997/február, 89 - 90. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt háromszög, Háromszögek nevezetes tételei, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/október: F.3139

Legyen ABC egy adott k körbe irt háromszög, P az ABC sík tetszőleges pontja, és jelölje m az AP+BP+CP összeg minimumát. A k körbe írt háromszögek közül melyikra lesz m maximális?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy ha a háromszög szögei 120-nál kisebbek, akkor a feladatban említett P pont az ún. izogonális pont, amelyből a háromszög mindegyik oldala 120-os szögben látszik. Ha pedig a háromszögnek van 120-os vagy annál nagyobb szöge ─ pl. az A csúcsnál ─, akkor P azonos lesz A-val és m=AB+AC. Ennek igazolása megtalálható Reiman István: A geometriai és határterületei (Gondolat Kiadó, 1986) c. könyv 240. oldalán. Keressük először m maximumát abban az esetben, amikor a BAC120. Ekkor m=AB+AC, amit a szokásos jelölésekkel így írhatunk:

m=2Rsinβ+2Rsinγ=2R(sinβ+sinγ).
Felhasználva, hogy sinβ+sinγ=2sinβ+γ2cosβ-γ2, továbbá, hogy β+γ230, azt kapjuk, hogy m2R212cosβ-γ22R.
Ezután feltesszük, hogy az ABC háromszögnek van izogonális pontja, jelöljük ezt P-vel. Forgassuk el a BPA háromszöget a k körrel együtt 60-kal a B csúcs körül (lásd az ábrát). Mivel a P pontból az oldalak 120-os szögben látszanak, a forgatás szöge pedig 60, CPP'=PP'A'=180, tehát a C, P, P', A' pontok egy egyenesre illeszkednek. A forgatás révén BP=BP'=PP' és AP=A'P', ezért AP+BP+CP=A'P'+PP'+CP=CA'. A BD szakasz felezőpontja köré rajzolt 3R átmérőjű körrel az ábra lefedhető (ugyanis k' átmegy k középpontján), ezért CA'3R. Nyilvánvaló, hogy ha ABC szabályos háromszög, akkor m=CA'=3R.
Tehát a k körbe írt háromszögek közül m a szabályos háromszögre lesz a legnagyobb, és a maximum 3R.
 Vörös Zoltán megoldása 

 
Megjegyzés. Több megoldó észrevette, hogy a feladat rokonságban áll az F. 3086. példával. Feltételezhető, hogy a feladat kitűzője e problémát továbbgondolva bukkant rá erre a szép megoldásra.