Kezdőlap


Feladat:	F.3139	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna , Bérczi Gergely , Fejérvári Bence , Horváth Gábor , Jeszenszky Gyula , Kormos Márton , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Megyeri Csaba , Németh András , Pogány Ádám , Prause István , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Tóth Ádám , Vaik Zsuzsanna , Végh A. László , Vörös Zoltán , Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/február, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt háromszög, Háromszögek nevezetes tételei, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: F.3139

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy ha a háromszög szögei $120^{\circ}$ -nál kisebbek, akkor a feladatban említett $P$ pont az ún. izogonális pont, amelyből a háromszög mindegyik oldala $120^{\circ}$ -os szögben látszik. Ha pedig a háromszögnek van $120^{\circ}$ -os vagy annál nagyobb szöge ─ pl. az $A$ csúcsnál ─, akkor $P$ azonos lesz $A$ -val és $m = A B + A C$ . Ennek igazolása megtalálható Reiman István: A geometriai és határterületei (Gondolat Kiadó, 1986) c. könyv 240. oldalán. Keressük először $m$ maximumát abban az esetben, amikor a $B A C ∢ \geq 120^{\circ}$ . Ekkor $m = A B + A C$ , amit a szokásos jelölésekkel így írhatunk:

\begin{matrix} m = 2 \cdot R \cdot sin β + 2 \cdot R \cdot sin γ = 2 \cdot R \cdot (sin β + sin γ) . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

sin β + sin γ = 2 \cdot sin \frac{β + γ}{2} \cdot cos \frac{β - γ}{2}

, továbbá, hogy

\frac{β + γ}{2} \leq 30^{\circ}

, azt kapjuk, hogy

m \leq 2 \cdot R \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot cos \frac{β - γ}{2} \leq 2 \cdot R

.
Ezután feltesszük, hogy az

A B C

háromszögnek van izogonális pontja, jelöljük ezt

P

-vel. Forgassuk el a

B P A

háromszöget a

k

körrel együtt

60^{\circ}

-kal a

B

csúcs körül (lásd az ábrát). Mivel a

P

pontból az oldalak

120^{\circ}

-os szögben látszanak, a forgatás szöge pedig

60^{\circ}

C P P' ∢ = P P' A' ∢ = 180^{\circ}

, tehát a

C

P

P'

A'

pontok egy egyenesre illeszkednek. A forgatás révén

B P = B P' = P P'

és

A P = A' P'

, ezért

A P + B P + C P = A' P' + P P' + C P = C A'

. A

B D

szakasz felezőpontja köré rajzolt

3 R

átmérőjű körrel az ábra lefedhető (ugyanis

k'

átmegy

k

középpontján), ezért

C A' \leq 3 R

. Nyilvánvaló, hogy ha

A B C

szabályos háromszög, akkor

m = C A' = 3 R

.
Tehát a

k

körbe írt háromszögek közül

m

a szabályos háromszögre lesz a legnagyobb, és a maximum

3 R

Vörös Zoltán megoldása

Megjegyzés. Több megoldó észrevette, hogy a feladat rokonságban áll az F. 3086. példával. Feltételezhető, hogy a feladat kitűzője e problémát továbbgondolva bukkant rá erre a szép megoldásra.