Feladat: F.3137 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Csiszár Gábor ,  Czirok Levente ,  Fejérvári Bence ,  Gyenes Zoltán ,  Gyurkó L. Gergely ,  Jáger Márta ,  Jakabfy Tamás ,  Jalsovszky Tamás ,  Juhász András ,  Kántor László ,  Kardos Balázs ,  Katona Zsolt ,  Kopecsni György ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Kürthy Gábor ,  Laczó Tibor ,  Lakos Gergely ,  Lázár Zsófia ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Naszvadi Péter ,  Nyul Gábor ,  Pál András ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Serény András ,  Szabó Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Szita István ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Várady Gergő ,  Végh László ,  Zábrádi Gergely ,  Zawadowski Ádám ,  Zsombori Gabriella 
Füzet: 1997/március, 165 - 166. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tetraéderek, Terület, felszín, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Beírt gömb, Magasságvonal, Háromszögek nevezetes tételei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/október: F.3137

Egy tetraéder lapjainak területe A, B, C és D. Bizonyítsuk be, hogy
|A2+B2-C2-D2|2(AB+CD).(4)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A formula szimmetriája miatt feltehetjük, hogy: A2+B2C2+D2.
Ekkor azt kell bizonyítani, hogy: A2+B2-C2-D22AB+2CD. Rendezve:

0C2+D2+2CD-(A2+B2-2AB)=(C+D+A-B)(C+D-A+B).
Jelölje a tetraéder térfogatát V, beírt gömbjének sugarát r, a lapokhoz tartozó magasságokat pedig ma, mb, mc, md. Ekkor 3V=r(A+B+C+D).
Egy tetraéderben a beírt gömb átmérője kisebb mindegyik magasságnál, mert egy laptól a szemközti csúcs távolabb van, mint a gömb bármely pontja.
Így 2rma, azaz
Ama=3V=r(A+B+C+D)ma2(A+B+C+D),2AA+B+C+D,0C+D-A+B.
Hasonlóan igazolható, hogy 0C+D+A-B.
Innen: 0(C+D-A+B)(C+D+A-B), ami éppen a bizonyítandó állítással egyenértékű.
 Szabó Gábor (Bonyhád, Petőfi S. Evang. Gimn., III. o.)

 
Megjegyzés. Terék Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.) merőleges vetítésekkel, Jalsovszky Tamás (Révkomárom, Ipari Középiskola) pedig a tetraéder hozzáírt gömbjeinek segítségével oldotta meg a feladatot.