Kezdőlap


Feladat:	F.3137	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barát Anna , Bérczi Gergely , Csiszár Gábor , Czirok Levente , Fejérvári Bence , Gyenes Zoltán , Gyurkó L. Gergely , Jáger Márta , Jakabfy Tamás , Jalsovszky Tamás , Juhász András , Kántor László , Kardos Balázs , Katona Zsolt , Kopecsni György , Kunszenti-Kovács Dávid , Kürthy Gábor , Laczó Tibor , Lakos Gergely , Lázár Zsófia , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Nagy István , Naszvadi Péter , Nyul Gábor , Pál András , Prause István , Rudolf Gábor , Serény András , Szabó Gábor , Szalai-Dobos András , Szita István , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Várady Gergő , Végh László , Zábrádi Gergely , Zawadowski Ádám , Zsombori Gabriella
Füzet:	1997/március, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Terület, felszín, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Beírt gömb, Magasságvonal, Háromszögek nevezetes tételei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: F.3137

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A formula szimmetriája miatt feltehetjük, hogy: $A^{2} + B^{2} \geq C^{2} + D^{2}$ .
Ekkor azt kell bizonyítani, hogy: $A^{2} + B^{2} - C^{2} - D^{2} \leq 2 A B + 2 C D$ . Rendezve:

\begin{matrix} 0 \leq C^{2} + D^{2} + 2 C D - (A^{2} + B^{2} - 2 A B) = (C + D + A - B) (C + D - A + B) . \end{matrix}

Jelölje a tetraéder térfogatát

V

, beírt gömbjének sugarát

r

, a lapokhoz tartozó magasságokat pedig

m_{a}

m_{b}

m_{c}

m_{d}

. Ekkor

3 V = r (A + B + C + D)

.
Egy tetraéderben a beírt gömb átmérője kisebb mindegyik magasságnál, mert egy laptól a szemközti csúcs távolabb van, mint a gömb bármely pontja.
Így

2 r \leq m_{a}

, azaz

\begin{matrix} \begin{matrix} A \cdot m_{a} = 3 V = r (A + B + C + D) & \leq \frac{m_{a}}{2} (A + B + C + D), \\ 2 A & \leq A + B + C + D, \\ 0 & \leq C + D - A + B . \end{matrix} \end{matrix}

Hasonlóan igazolható, hogy

0 \leq C + D + A - B

.
Innen:

0 \leq (C + D - A + B) (C + D + A - B)

, ami éppen a bizonyítandó állítással egyenértékű.

Szabó Gábor (Bonyhád, Petőfi S. Evang. Gimn., III. o.)

Megjegyzés. Terék Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.) merőleges vetítésekkel, Jalsovszky Tamás (Révkomárom, Ipari Középiskola) pedig a tetraéder hozzáírt gömbjeinek segítségével oldotta meg a feladatot.