Kezdőlap


Feladat:	C.439	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Förkécz András , Jáger Márta , Nagy Gábor , Nagy István , Sarlós Ferenc
Füzet:	1997/február, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Alakzatba írt kör, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/szeptember: C.439

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ derékszögű háromszög beírt körének középpontját jelöljük $O$ -val, szögeit a szokásos módon $α$ , $β$ , $γ$ -val, ahol $γ = 90^{\circ}$ . A beírt kör érintési pontja az $A B$ oldalon $E$ , a $B C$ -n $F$ , a $C A$ -n $G$ .
Az $O F G$ háromszög területe: $t_{1} = \frac{ϱ^{2}}{2}$ . Az $O F B E$ négyszögben $O F B ∢ = O E B ∢ = 90^{\circ}$ , ezért $F O E ∢ = 180^{\circ} - β$ . Így az $O F E$ háromszög területe (a jól ismert területképlet alapján) $t_{2} = \frac{ϱ^{2} sin (180^{\circ} - β)}{2}$ .
Hasonlóképpen az $O G E$ háromszög területe: $t_{3} = \frac{ϱ^{2} sin (180^{\circ} - α)}{2}$ .
Az érintési pontok által meghatározott háromszög $t$ területére:

\begin{matrix} t = t_{1} + t_{2} + t_{3} = \frac{ϱ^{2}}{2} + \frac{ϱ^{2} sin (180^{\circ} - β)}{2} + \frac{ϱ^{2} sin (180^{\circ} - α)}{2} = \frac{ϱ^{2}}{2} (1 + sin α + sin β) \end{matrix}

(1)

(hiszen pl.

sin (180^{\circ} - α) = sin α

).
Az

A B C

derékszögű háromszögből

sin α = \frac{a}{c}

sin β = \frac{b}{c}

, ezt (1)-be beírva

\begin{matrix} t = \frac{ϱ^{2}}{2} (\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{c}) = \frac{ϱ^{2}}{c} (\frac{a + b + c}{2}) . \end{matrix}

(2)

Ismeretes továbbá, hogy az

a

b

c

oldalú háromszög

T

területe és beírt körének

ϱ

sugara között fennáll a következő összefüggés:

T = \frac{(a + b + c) ϱ}{2}

. Ezt behelyettesítve (2)-be:

t = \frac{ϱ}{c} T

, éppen amit bizonyítani akartunk.