Feladat: C.439 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Förkécz András ,  Jáger Márta ,  Nagy Gábor ,  Nagy István ,  Sarlós Ferenc 
Füzet: 1997/február, 75 - 76. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Alakzatba írt kör, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/szeptember: C.439

Egy derékszögű háromszög átfogója c, területe T, beírt körének sugara ϱ. Igazoljuk, hogy a beírt kör érintési pontjai ϱcT területű háromszöget határoznak meg.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ABC derékszögű háromszög beírt körének középpontját jelöljük O-val, szögeit a szokásos módon α, β, γ-val, ahol γ=90. A beírt kör érintési pontja az AB oldalon E, a BC-n F, a CA-n G.
Az OFG háromszög területe: t1=ϱ22. Az OFBE négyszögben OFB=OEB=90, ezért FOE=180-β. Így az OFE háromszög területe (a jól ismert területképlet alapján) t2=ϱ2sin(180-β)2.
Hasonlóképpen az OGE háromszög területe: t3=ϱ2sin(180-α)2.
Az érintési pontok által meghatározott háromszög t területére:

t=t1+t2+t3=ϱ22+ϱ2sin(180-β)2+ϱ2sin(180-α)2=ϱ22(1+sinα+sinβ)(1)
(hiszen pl. sin(180-α)=sinα).
Az ABC derékszögű háromszögből sinα=ac, sinβ=bc, ezt (1)-be beírva
t=ϱ22(ac+bc+cc)=ϱ2c(a+b+c2).(2)

Ismeretes továbbá, hogy az a, b, c oldalú háromszög T területe és beírt körének ϱ sugara között fennáll a következő összefüggés: T=(a+b+c)ϱ2. Ezt behelyettesítve (2)-be: t=ϱcT, éppen amit bizonyítani akartunk.