Feladat: C.436 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Berki Csaba ,  Gáspár László ,  Hajdufi Péter ,  Nagy Nóra ,  Varga Balázs ,  Varga Szilvia ,  Végh László 
Füzet: 1997/január, 15 - 17. oldal  PDF file
Témakör(ök): Csonkagúlák, Szabályos sokszög alapú gúlák, Térfogat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/május: C.436

Egy szabályos négyoldalú csonkagúla magassága és fedőéle egyenlő. A csonkagúla térfogata kétszerese a benne foglalt legnagyobb kocka térfogatának. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplap síkjával?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szemléletünk azt sugallja, hogy a csonkagúlába írható kockák közül az a legnagyobb, amelyiknek egyik lapja egybeesik a csonkagúla fedőlapjával. Ekkor, mivel a gúla magassága a, valóban gúlába írt kockát kapunk. Ennél nagyobb térfogatú kockát nem lehet a csonakgúlába írni. Lásd a 2. megjegyzést.
Az oldallap és alapsík szögének kiszámításához vegyünk fel egy síkot, amely átmegy a fedőlap középpontján, merőleges az alapsíkra, és párhuzamos a négyzetlap egyik élével. Ez a sík a csonkagúlából egy ABCD egyenlő szárú trapézt metsz ki, párhuzamos élei a és b, magassága a, az oldalél és alapél szöge, α megegyezik a keresett két sík hajlásszögével. Innen:

tgα=a(b-a)2=2ab-a.(1)
A kocka térfogata: a3; a csonkagúla térfogata: a3(a2+b2+ab), és a feltétel szerint
2a3=a3(a2+b2+ab),
rendezve az egyenletet a
-5a2+ab+b2=0
másodfokú egyenletet kapjuk. Oldjuk meg pl. a-ra:
a=-b±b2+20b2-10=1+2110b,
(csak a pozitív értéket vesszük figyelembe, hiszen a>0.)
Helyettesítsük a most kapott értékét (1)-be:
tgα=1+215bb-1+2110b=2+2219-212,5275,
ahonnan α68,4.
 
Megjegyzések. 1. A megoldók többsége természetesnek vette, hogy a kocka élének hossza legfeljebb akkora lehet, mint a csonkagúla fedőélének hossza, és csak a számolást végezte el. Ezek a dolgozatok 3 pontot kaptak.
2. Megmutatjuk, hogy a-nál nagyobb élhosszúságú kocka nem írható a csonkagúlába. Tegyük fel, hogy egy b élhosszúságú kockát beleírtunk a csonkagúlába. Ha ez nem érinti az alaplapot, akkor toljuk el az alaplap irányába, arra merőlegesen, amíg nem lesz közös pontja az alaplappal. Eközben benn maradunk a csonkagúlában, mert ilyen mozgatással minden benne levő pont benne marad. (A csonkagúla helyett csak az alap- és fedőlap síkját rajzoltuk meg.)
A most kapott kockának vagy az egyik lapja, vagy csak az egyik éle, vagy csak az egyik csúcsa lesz az alaplapon; egyik csúcsa tehát mindenképpen, legyen ez A, és a vele szomszédos csúcsok B1, B2, B3, továbbá ezeknek közös szomszédai C1, C2, C3 a 3. ábrán látható módon. Végül a kocka nyolcadik csúcsát jelölje D. Vetítsük a kockát az alapsíkra. A kocka vetületének a kontúrja B1', C3', B2', C1', B3', C2' lesz. D' tehát ebbe a sokszögbe esik. Mivel ez a sokszög három (esetleg egyenes szakasszá fajult) négyszög egyesítése (ezek éppen az A csúcsot tartalmazó kockalapok vetületei), ezért D' ezek valamelyikébe, például az A, B1', C3', B2' négyszögbe esik. Így a |AD'| távolság vagy legfeljebb akkora, mint az |AC3'| távolság, ami nem lehet nagyobb az |AC3|=b2 távolságnál, vagy legfeljebb akkora, mint az |AB1'|, illetve az |AB2'| távolság, amelyek megfelelően nem lehetnek nagyobbak az |AB1|=|AB2|=b távolságnál. Ezért |AD'|b2 mindenképpen fennáll. Azt is tudjuk, hogy |AD|=b3. Ebből Pitagorasz tétele alapján következik, hogy |DD'|2>3b2-2b2=b2, hiszen a DD'A háromszög D'-nél levő szöge derékszög. Így |DD'|b, mivel pozitív számokról van szó. Tekintettel arra, hogy a DD' szakasz merőleges az alap- (és a fedő-)síkra, továbbá mindkét pont e két sík között (esetleg rajtuk) fekszik, ezért távolságuk legfeljebb a. Így a|DD'|b.