Kezdőlap


Feladat:	C.436	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berki Csaba , Gáspár László , Hajdufi Péter , Nagy Nóra , Varga Balázs , Varga Szilvia , Végh László
Füzet:	1997/január, 15 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkagúlák, Szabályos sokszög alapú gúlák, Térfogat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/május: C.436

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szemléletünk azt sugallja, hogy a csonkagúlába írható kockák közül az a legnagyobb, amelyiknek egyik lapja egybeesik a csonkagúla fedőlapjával. Ekkor, mivel a gúla magassága $a$ , valóban gúlába írt kockát kapunk. Ennél nagyobb térfogatú kockát nem lehet a csonakgúlába írni. Lásd a 2. megjegyzést.
Az oldallap és alapsík szögének kiszámításához vegyünk fel egy síkot, amely átmegy a fedőlap középpontján, merőleges az alapsíkra, és párhuzamos a négyzetlap egyik élével. Ez a sík a csonkagúlából egy $A B C D$ egyenlő szárú trapézt metsz ki, párhuzamos élei $a$ és $b$ , magassága $a$ , az oldalél és alapél szöge, $α$ megegyezik a keresett két sík hajlásszögével. Innen:

\begin{matrix} tg α = \frac{a}{\frac{(b - a)}{2}} = \frac{2 a}{b - a} . \end{matrix}

(1)

A kocka térfogata:

a^{3}

; a csonkagúla térfogata:

\frac{a}{3} (a^{2} + b^{2} + a b)

, és a feltétel szerint

\begin{matrix} 2 a^{3} = \frac{a}{3} (a^{2} + b^{2} + a b), \end{matrix}

rendezve az egyenletet a

\begin{matrix} - 5 a^{2} + a b + b^{2} = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletet kapjuk. Oldjuk meg pl.

a

-ra:

\begin{matrix} a = \frac{- b \pm \sqrt[]{b^{2} + 20 b^{2}}}{- 10} = \frac{1 + \sqrt[]{21}}{10} b, \end{matrix}

(csak a pozitív értéket vesszük figyelembe, hiszen

a > 0

.)
Helyettesítsük

a

most kapott értékét (1)-be:

\begin{matrix} tg α = \frac{\frac{1 + \sqrt[]{21}}{5} b}{b - \frac{1 + \sqrt[]{21}}{10} b} = \frac{2 + 2 \sqrt[]{21}}{9 - \sqrt[]{21}} \approx 2,5275, \end{matrix}

ahonnan

α \approx 68, 4^{\circ}

Megjegyzések. 1. A megoldók többsége természetesnek vette, hogy a kocka élének hossza legfeljebb akkora lehet, mint a csonkagúla fedőélének hossza, és csak a számolást végezte el. Ezek a dolgozatok 3 pontot kaptak.
2. Megmutatjuk, hogy

a

-nál nagyobb élhosszúságú kocka nem írható a csonkagúlába. Tegyük fel, hogy egy

b

élhosszúságú kockát beleírtunk a csonkagúlába. Ha ez nem érinti az alaplapot, akkor toljuk el az alaplap irányába, arra merőlegesen, amíg nem lesz közös pontja az alaplappal. Eközben benn maradunk a csonkagúlában, mert ilyen mozgatással minden benne levő pont benne marad. (A csonkagúla helyett csak az alap- és fedőlap síkját rajzoltuk meg.)
A most kapott kockának vagy az egyik lapja, vagy csak az egyik éle, vagy csak az egyik csúcsa lesz az alaplapon; egyik csúcsa tehát mindenképpen, legyen ez

A

, és a vele szomszédos csúcsok

B_{1}

B_{2}

B_{3}

, továbbá ezeknek közös szomszédai

C_{1}

C_{2}

C_{3}

a 3. ábrán látható módon. Végül a kocka nyolcadik csúcsát jelölje

D

. Vetítsük a kockát az alapsíkra. A kocka vetületének a kontúrja

B_{1}'

C_{3}'

B_{2}'

C_{1}'

B_{3}'

C_{2}'

lesz.

D'

tehát ebbe a sokszögbe esik. Mivel ez a sokszög három (esetleg egyenes szakasszá fajult) négyszög egyesítése (ezek éppen az

A

csúcsot tartalmazó kockalapok vetületei), ezért

D'

ezek valamelyikébe, például az

A

B_{1}'

C_{3}'

B_{2}'

négyszögbe esik. Így a

| A D' |

távolság vagy legfeljebb akkora, mint az

| A C_{3}' |

távolság, ami nem lehet nagyobb az

| A C_{3} | = b \cdot \sqrt[]{2}

távolságnál, vagy legfeljebb akkora, mint az

| A B_{1}' |

, illetve az

| A B_{2}' |

távolság, amelyek megfelelően nem lehetnek nagyobbak az

| A B_{1} | = | A B_{2} | = b

távolságnál. Ezért

| A D' | \leq b \cdot \sqrt[]{2}

mindenképpen fennáll. Azt is tudjuk, hogy

| A D | = b \cdot \sqrt[]{3}

. Ebből Pitagorasz tétele alapján következik, hogy

| D D' |^{2} > 3 \cdot b^{2} - 2 \cdot b^{2} = b^{2}

, hiszen a

D D' A

háromszög

D'

-nél levő szöge derékszög. Így

| D D' | \geq b

, mivel pozitív számokról van szó. Tekintettel arra, hogy a

D D'

szakasz merőleges az alap- (és a fedő-)síkra, továbbá mindkét pont e két sík között (esetleg rajtuk) fekszik, ezért távolságuk legfeljebb

a

. Így

a \geq | D D' | \geq b