A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Szemléletünk azt sugallja, hogy a csonkagúlába írható kockák közül az a legnagyobb, amelyiknek egyik lapja egybeesik a csonkagúla fedőlapjával. Ekkor, mivel a gúla magassága , valóban gúlába írt kockát kapunk. Ennél nagyobb térfogatú kockát nem lehet a csonakgúlába írni. Lásd a 2. megjegyzést. Az oldallap és alapsík szögének kiszámításához vegyünk fel egy síkot, amely átmegy a fedőlap középpontján, merőleges az alapsíkra, és párhuzamos a négyzetlap egyik élével. Ez a sík a csonkagúlából egy egyenlő szárú trapézt metsz ki, párhuzamos élei és , magassága , az oldalél és alapél szöge, megegyezik a keresett két sík hajlásszögével. Innen: A kocka térfogata: ; a csonkagúla térfogata: , és a feltétel szerint rendezve az egyenletet a másodfokú egyenletet kapjuk. Oldjuk meg pl. -ra: (csak a pozitív értéket vesszük figyelembe, hiszen .) Helyettesítsük most kapott értékét (1)-be: | | ahonnan .
Megjegyzések. 1. A megoldók többsége természetesnek vette, hogy a kocka élének hossza legfeljebb akkora lehet, mint a csonkagúla fedőélének hossza, és csak a számolást végezte el. Ezek a dolgozatok 3 pontot kaptak. 2. Megmutatjuk, hogy -nál nagyobb élhosszúságú kocka nem írható a csonkagúlába. Tegyük fel, hogy egy élhosszúságú kockát beleírtunk a csonkagúlába. Ha ez nem érinti az alaplapot, akkor toljuk el az alaplap irányába, arra merőlegesen, amíg nem lesz közös pontja az alaplappal. Eközben benn maradunk a csonkagúlában, mert ilyen mozgatással minden benne levő pont benne marad. (A csonkagúla helyett csak az alap- és fedőlap síkját rajzoltuk meg.) A most kapott kockának vagy az egyik lapja, vagy csak az egyik éle, vagy csak az egyik csúcsa lesz az alaplapon; egyik csúcsa tehát mindenképpen, legyen ez , és a vele szomszédos csúcsok , , , továbbá ezeknek közös szomszédai , , a 3. ábrán látható módon. Végül a kocka nyolcadik csúcsát jelölje . Vetítsük a kockát az alapsíkra. A kocka vetületének a kontúrja , , , , , lesz. tehát ebbe a sokszögbe esik. Mivel ez a sokszög három (esetleg egyenes szakasszá fajult) négyszög egyesítése (ezek éppen az csúcsot tartalmazó kockalapok vetületei), ezért ezek valamelyikébe, például az , , , négyszögbe esik. Így a távolság vagy legfeljebb akkora, mint az távolság, ami nem lehet nagyobb az távolságnál, vagy legfeljebb akkora, mint az , illetve az távolság, amelyek megfelelően nem lehetnek nagyobbak az távolságnál. Ezért mindenképpen fennáll. Azt is tudjuk, hogy . Ebből Pitagorasz tétele alapján következik, hogy , hiszen a háromszög -nél levő szöge derékszög. Így , mivel pozitív számokról van szó. Tekintettel arra, hogy a szakasz merőleges az alap- (és a fedő-)síkra, továbbá mindkét pont e két sík között (esetleg rajtuk) fekszik, ezért távolságuk legfeljebb . Így .
|