Kezdőlap


Feladat:	N.85	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Burcsi Péter , Frenkel Péter , Gyarmati Katalin , Makai Márton , Pap Gyula , Prause István
Füzet:	1996/október, 420 - 421. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani közép, Kvadratikus közép, Számelrendezések, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: N.85

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $i$ -edik sor $j$ -edik eleme $a_{i j}$ , az $i$ -edik sorvektor pedig $v_{i} = (a_{i 1}, a_{i 2}, ..., a_{i n})$ . Két sorvektor skaláris szorzatát a szokásos módon definiáljuk:

\begin{matrix} v_{i} v_{j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} a_{j k} . \end{matrix}

a_{i k} a_{j k}

szorzat értéke 1, ha

a_{i k}

és

a_{j k}

megegyezik, és

- 1

ellenkező esetben. Emiatt két különböző sor skaláris szorzata 0, míg egy sor skaláris négyzetének értéke

n

. Legyen

V = v_{1} + v_{2} + ... + v_{n}

\begin{matrix} V^{2} = {(v_{1} + ... + v_{n})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} + 2 \cdot \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{} v_{i} v_{j} = n^{2} . \end{matrix}

Legyenek

V

koordinátái

b_{1}

...

b_{n}

; azt kell bizonyítanunk, hogy

b_{1} + ... + b_{n} \leq n^{3 / 2}

. A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség alapján

\begin{matrix} \frac{b_{1} + ... + b_{n}}{n} \leq \sqrt[]{\frac{b_{1}^{2} + ... + b_{n}^{2}}{n}} = \sqrt[]{\frac{V^{2}}{n}} = \sqrt[]{n}, \end{matrix}

vagyis az állítás igaz.

Megjegyzések. 1. A bizonyítás könnyen elmondható a skaláris szorzat fogalma nélkül is.
2. A bizonyított egyenlőtlenség bizonyos

n

értékekre éles. Definiáljuk a következő mátrixsorozatot:

\begin{matrix} M_{1} = [\begin{matrix} - 1 & + 1 & + 1 & + 1 \\ + 1 & - 1 & + 1 & + 1 \\ + 1 & + 1 & - 1 & + 1 \\ + 1 & + 1 & + 1 & - 1 \end{matrix}]; M_{k + 1} = [\begin{matrix} - M_{k} & + M_{k} & + M_{k} & + M_{k} \\ + M_{k} & - M_{k} & + M_{k} & + M_{k} \\ + M_{k} & + M_{k} & - M_{k} & + M_{k} \\ + M_{k} & + M_{k} & + M_{k} & - M_{k} \end{matrix}] . \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy az

M_{k}

mátrix

4^{k}

sorból és ugyanennyi oszlopból áll, és teljesíti a feltételeket, ugyanakkor az elemeinek összege pontosan

8^{k} = {(4^{k})}^{3 / 2}

Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o.t.)