Feladat: N.85 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Frenkel Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Makai Márton ,  Pap Gyula ,  Prause István 
Füzet: 1996/október, 420 - 421. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani közép, Kvadratikus közép, Számelrendezések, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/december: N.85

Egy n×n-es táblázatot 1-esekkel és -1-esekkel töltöttünk ki oly módon, hogy bármely két (különböző) sorát hasonlítjuk össze, az egymás alatt álló helyeken ugyanannyiszor egyeznek meg a számok, mint különböznek. Mutassuk meg, hogy a táblázatba írt számok összege nem több n3/2-nél.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az i-edik sor j-edik eleme aij, az i-edik sorvektor pedig vi=(ai1,ai2,...,ain). Két sorvektor skaláris szorzatát a szokásos módon definiáljuk:

vivj=k=1naikajk.
Az aikajk szorzat értéke 1, ha aik és ajk megegyezik, és -1 ellenkező esetben. Emiatt két különböző sor skaláris szorzata 0, míg egy sor skaláris négyzetének értéke n. Legyen V=v1+v2+...+vn.
V2=(v1+...+vn)2=i=1nvi2+21i<jnvivj=n2.
Legyenek V koordinátái b1, ..., bn; azt kell bizonyítanunk, hogy b1+...+bnn3/2. A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség alapján
b1+...+bnnb12+...+bn2n=V2n=n,
vagyis az állítás igaz.
 
Megjegyzések. 1. A bizonyítás könnyen elmondható a skaláris szorzat fogalma nélkül is.
2. A bizonyított egyenlőtlenség bizonyos n értékekre éles. Definiáljuk a következő mátrixsorozatot:
M1=[-1+1+1+1+1-1+1+1+1+1-1+1+1+1+1-1];Mk+1=[-Mk+Mk+Mk+Mk+Mk-Mk+Mk+Mk+Mk+Mk-Mk+Mk+Mk+Mk+Mk-Mk].
Könnyen ellenőrizhető, hogy az Mk mátrix 4k sorból és ugyanennyi oszlopból áll, és teljesíti a feltételeket, ugyanakkor az elemeinek összege pontosan 8k=(4k)3/2.
 Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o.t.)