Feladat: N.83 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Frenkel Péter ,  Gyarmati Katalin ,  Pap Gyula ,  Terpai Tamás ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1996/április, 229 - 230. oldal  PDF file
Témakör(ök): Skatulyaelv, Irracionális számok és tulajdonságaik, Tizes alapú számrendszer, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/november: N.83

Igaz-e, hogy minden irracionális számnak van olyan egész számú többszöröse, amelynek tizedes jegyei között végtelen sokszor szerepel a 0 és 9 számjegyek egyike?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Sajnálatos módon a feladat szövege nem zárta ki a nulla többszörös nyilvánvaló esetét, ami azonban nem okozott félreértést a megoldók között.
Megmutatjuk, hogy igenlő a válasz a kérdésre. Legyen α a szóban forgó irracionális szám, amelyről feltehetjük, hogy pozitív. Kiindulási ötletünk az, hogy ha két pozitív többszörös megegyezik az n-edik tizedesjegyében, akkor nemnegatív különbségük n-edik jegye 0 vagy 9. Valóban, legyenek kl olyan egészek, amelyekre kα és lα megegyezik az n-edik tizedesjegyben, más szóval

[10nkα][10nlα](mod10).
Ekkor a valós számok körében könnyen ellenőrizhető
[x]-[y]-1<[x-y][x]-[y]
egyenlőtlenséget az előző kongruenciával egybevetve kapjuk, hogy
[10n(k-l)α]0   vagy  9(mod10).
Mivel a bal oldal nemnegatív, éppen azt kaptuk, hogy a nemnegatív (k-l)α különbség n-edik tizedesjegye 0 vagy 9.
Ezek után a skatulya-elv kétszeri alkalmazásával érünk célba. Először is, mivel egy adott helyen álló tizedesjegy értéke egy számban csak 10-féle lehet, ezért minden n-hez található olyan 1kn<ln11 egész számpár, amelyre knα és lnα megegyezik az n-edik tizedesjegyében. Másodszor, a (kn,ln) párokat egy véges, (112) elemű halmazból válogattuk, ezért kell lennie egy (k,l) párnak, amely végtelen sokszor szerepel. Ekkor kα és lα tizedestört alakja végtelen sok jegyben megegyezik, azaz a fenti észrevétel alapján (k-l)α olyan többszöröse α-nak, amelynek jegyei között végtelen sokszor szerepel 0 vagy 9.
Ezzel a feladatot megoldottuk.
 Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

 

Megjegyzés. A megoldók többféle módon jutottak el a fenti válaszig, de a skatulya-elv felhasználása mindegyiküknél lényeges volt.