Kezdőlap


Feladat:	N.83	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Frenkel Péter , Gyarmati Katalin , Pap Gyula , Terpai Tamás , Vörös Zoltán
Füzet:	1996/április, 229 - 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Skatulyaelv, Irracionális számok és tulajdonságaik, Tizes alapú számrendszer, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: N.83

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Sajnálatos módon a feladat szövege nem zárta ki a nulla többszörös nyilvánvaló esetét, ami azonban nem okozott félreértést a megoldók között.
Megmutatjuk, hogy igenlő a válasz a kérdésre. Legyen $α$ a szóban forgó irracionális szám, amelyről feltehetjük, hogy pozitív. Kiindulási ötletünk az, hogy ha két pozitív többszörös megegyezik az $n$ -edik tizedesjegyében, akkor nemnegatív különbségük $n$ -edik jegye 0 vagy 9. Valóban, legyenek $k \leq l$ olyan egészek, amelyekre $k α$ és $l α$ megegyezik az $n$ -edik tizedesjegyben, más szóval

\begin{matrix} [10^{n} k α] \equiv [10^{n} l α] (mod 10) . \end{matrix}

Ekkor a valós számok körében könnyen ellenőrizhető

\begin{matrix} [x] - [y] - 1 < [x - y] \leq [x] - [y] \end{matrix}

egyenlőtlenséget az előző kongruenciával egybevetve kapjuk, hogy

\begin{matrix} [10^{n} (k - l) α] \equiv 0 vagy 9 (mod 10) . \end{matrix}

Mivel a bal oldal nemnegatív, éppen azt kaptuk, hogy a nemnegatív

(k - l) α

különbség

n

-edik tizedesjegye 0 vagy 9.
Ezek után a skatulya-elv kétszeri alkalmazásával érünk célba. Először is, mivel egy adott helyen álló tizedesjegy értéke egy számban csak 10-féle lehet, ezért minden

n

-hez található olyan

1 \leq k_{n} < l_{n} \leq 11

egész számpár, amelyre

k_{n} α

és

l_{n} α

megegyezik az

n

-edik tizedesjegyében. Másodszor, a

(k_{n}, l_{n})

párokat egy véges,

(\binom{11}{2})

elemű halmazból válogattuk, ezért kell lennie egy

(k, l)

párnak, amely végtelen sokszor szerepel. Ekkor

k α

és

l α

tizedestört alakja végtelen sok jegyben megegyezik, azaz a fenti észrevétel alapján

(k - l) α

olyan többszöröse

α

-nak, amelynek jegyei között végtelen sokszor szerepel 0 vagy 9.
Ezzel a feladatot megoldottuk.

Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A megoldók többféle módon jutottak el a fenti válaszig, de a skatulya-elv felhasználása mindegyiküknél lényeges volt.