Kezdőlap


Feladat:	N.57	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bene Koppány , Braun Gábor , Burcsi Péter , Dombi Gergely , Formanek Csaba , Gerő Tamás Miklós , Makai Márton , Molnár-Sáska Balázs , Nyul Gábor , Pap Gyula , Séllei Béla , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Valkó Benedek
Füzet:	1995/december, 538 - 539. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: N.57

Tegyük fel, hogy egy kör egy húrnégyszög minden oldalát

2

‐

2

belső pontban metszi. Igazoljuk, hogy ekkor a körnek a négyszög belsejébe eső

4

íve közül a szemben fekvők összhossza egyenlő.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A húrnégyszög legyen $A B C D$ , a kérdéses kör messe $A B$ -t $A_{1}$ -ben és $B_{2}$ -ben ( $A_{1}$ van $A$ -hoz közelebb), stb. az ábra jelölései szerint. Így a körön a pontok sorrendje: $A_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{1}$ , $D_{2}$ , $D_{1}$ , $A_{2}$ . A kerületi és középponti szögek tétele alapján, valamint kihasználva, hogy az ívhossz és az ívhez tartozó szög egyenes arányban állnak, a feladat állítása ekvivalens az

\begin{matrix} B_{2} A_{1} B_{1} ∢ + D_{2} C_{1} D_{1} ∢ = C_{2} B_{1} C_{1} ∢ + A_{2} D_{1} A_{1} ∢ \end{matrix}

(1)

összefüggéssel.
A külsőszög-tétel szerint:

\begin{matrix} \begin{matrix} B_{2} A_{1} B_{1} ∢ = A_{1} B_{1} C_{2} ∢ - A_{1} B B_{1} ∢ = A_{1} B_{1} C_{1} ∢ + C_{2} B_{1} C_{1} ∢ - A B C ∢ & (2) \\ D_{2} C_{1} D_{1} ∢ = C_{1} D_{1} A_{2} ∢ - C_{1} D D_{1} ∢ = C_{1} D_{1} A_{1} ∢ + A_{2} D_{1} A_{1} ∢ - D C A ∢ . & (3) \end{matrix} \end{matrix}

A B C D

négyszög húrnégyszög, hasonlóan

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

is az, így

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} ∢ + C_{1} D_{1} A_{1} ∢ = 180^{\circ}, A B C ∢ + C D A ∢ = 180^{\circ} . \end{matrix}

Ezt felhasználva (2) és (3) összegéből

\begin{matrix} B_{2} A_{1} B_{1} ∢ + D_{2} C_{1} D_{1} ∢ = C_{2} B_{1} C_{1} ∢ + A_{2} D_{1} A_{1} ∢, \end{matrix}

azaz (1) teljesül.

Burcsi Péter (Pápa, Türr I. Gimn., III. o.t.)