Feladat: N.57 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bene Koppány ,  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Dombi Gergely ,  Formanek Csaba ,  Gerő Tamás Miklós ,  Makai Márton ,  Molnár-Sáska Balázs ,  Nyul Gábor ,  Pap Gyula ,  Séllei Béla ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1995/december, 538 - 539. oldal  PDF file
Témakör(ök): Húrnégyszögek, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/február: N.57

Tegyük fel, hogy egy kör egy húrnégyszög minden oldalát 22 belső pontban metszi. Igazoljuk, hogy ekkor a körnek a négyszög belsejébe eső 4 íve közül a szemben fekvők összhossza egyenlő.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A húrnégyszög legyen ABCD, a kérdéses kör messe AB-t A1-ben és B2-ben (A1 van A-hoz közelebb), stb. az ábra jelölései szerint. Így a körön a pontok sorrendje: A1, B2, B1, C2, C1, D2, D1, A2. A kerületi és középponti szögek tétele alapján, valamint kihasználva, hogy az ívhossz és az ívhez tartozó szög egyenes arányban állnak, a feladat állítása ekvivalens az

B2A1B1+D2C1D1=C2B1C1+A2D1A1(1)
összefüggéssel.
A külsőszög-tétel szerint:
B2A1B1=A1B1C2-A1BB1=A1B1C1+C2B1C1-ABC(2)D2C1D1=C1D1A2-C1DD1=C1D1A1+A2D1A1-DCA.(3)
Az ABCD négyszög húrnégyszög, hasonlóan A1B1C1D1 is az, így
A1B1C1+C1D1A1=180,ABC+CDA=180.
Ezt felhasználva (2) és (3) összegéből
B2A1B1+D2C1D1=C2B1C1+A2D1A1,
azaz (1) teljesül.
 Burcsi Péter (Pápa, Türr I. Gimn., III. o.t.)