Feladat: N.54 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyarmati Katalin ,  Pap Gyula ,  Póczos Barnabás ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth Gábor Zsolt 
Füzet: 1995/október, 421. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vektorok, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Vetítések, Határozott integrál, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/január: N.54

Mutassuk meg, hogy ha a síkon n szakasz összhossza 1, akkor van olyan egyenes, amelyen a szakaszok vetületének összhossza kisebb 2/π-nél.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Irányítsunk minden egyes szakaszt mindkét lehetséges módon, és fűzzük össze az így keletkező 2n db vektort irányszögük szerint növekvő (nem csökkenő) sorrendben. A vektorok között mindegyik az ellentettjével együtt szerepel, ezért az összefűzés során egy középpontosan szimmetrikus, konvex sokszög keletkezik, amelynek kerülete a szakaszok összhosszának kétszerese, azaz 2. A sokszög középpontjából állítsunk merőlegest a hozzá (egyik) legközelebbi oldalegyenesre és annak tükörképére, továbbá jelöljük d-vel a két merőleges alkotta szakaszt, illetve annak hosszát. Ekkor a sokszög vetülete a d egyenesére éppen a d, amely az eredetileg adott szakaszok vetületeinek egymáshoz csatlakozó eltolt példányaiból tevődik össze. Ezek szerint az egyenesen a vetületek összhossza d. Másrészről a d származtatása miatt a köré mint átmérő köré rajzolt kör a sokszögtartománynak része, tehát a kerülete kisebb a sokszögénél. Így dπ<2, azaz d<2/π, ami igazolja a feladat állítását.

 
II. megoldás. Legyenek a szakaszok ai (1in), és jelölje e(α) egy rögzített egyenesnek egy rögzített pont körüli, pozitív irányú, α szögű elforgatottját. Válasszuk meg a δi szögeket úgy, hogy e(δi) párhuzamos legyen ai-vel. Ekkor az ai szakasz e(α) egyenesre való vetületének hossza fi(α)=ai|cos(α-δi)|, a vetületek összhosszát pedig f=i=1nfi adja meg. Az f integrálátlaga a [0,π] intervallumon
1π0πf=1πi=1n0πfi=1πi=1nai0π|cos(α-δi)|dα=1πi=1nai0πsinαdα=2πi=1nai=2π.
Jegyezzük meg, hogy az fi-k folytonosak és szakaszonként szigorúan konkávak, tehát ugyanez érvényes f-re is, speciálisan, f nem konstans. Ezt az előző egyenlőséggel egybevetve
min[0,π]f<2π<max[0,π]f.
Ezzel beláttuk, hogy létezik olyan egyenes, amelyen a szakaszok vetületének összhossza kisebb 2/π-nél, és hogy olyan is van, amelyen ez az összhossz 2/π-nél nagyobb.
 Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.)

 
Megjegyzés. A második megoldásból ‐ ismét csak f folytonosságát használva ‐ az is kiolvasható, hogy létezik olyan egyenes, amelyen a vetületek összhossza éppen 2/π, tehát hogy van olyan 0απ, amelyre f(α)=2/π. Gyarmati Katalin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) megjegyezte, hogy csak véges sok ilyen α létezhet.