Kezdőlap


Feladat:	N.54	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyarmati Katalin , Pap Gyula , Póczos Barnabás , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Tóth Gábor Zsolt
Füzet:	1995/október, 421. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vektorok, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Vetítések, Határozott integrál, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/január: N.54

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Irányítsunk minden egyes szakaszt mindkét lehetséges módon, és fűzzük össze az így keletkező $2 n$ db vektort irányszögük szerint növekvő (nem csökkenő) sorrendben. A vektorok között mindegyik az ellentettjével együtt szerepel, ezért az összefűzés során egy középpontosan szimmetrikus, konvex sokszög keletkezik, amelynek kerülete a szakaszok összhosszának kétszerese, azaz 2. A sokszög középpontjából állítsunk merőlegest a hozzá (egyik) legközelebbi oldalegyenesre és annak tükörképére, továbbá jelöljük $d$ -vel a két merőleges alkotta szakaszt, illetve annak hosszát. Ekkor a sokszög vetülete a $d$ egyenesére éppen a $d$ , amely az eredetileg adott szakaszok vetületeinek egymáshoz csatlakozó eltolt példányaiból tevődik össze. Ezek szerint az egyenesen a vetületek összhossza $d$ . Másrészről a $d$ származtatása miatt a köré mint átmérő köré rajzolt kör a sokszögtartománynak része, tehát a kerülete kisebb a sokszögénél. Így $d π < 2$ , azaz $d < 2 / π$ , ami igazolja a feladat állítását.

II. megoldás. Legyenek a szakaszok

a_{i}

(

1 \leq i \leq n

), és jelölje

e (α)

egy rögzített egyenesnek egy rögzített pont körüli, pozitív irányú,

α

szögű elforgatottját. Válasszuk meg a

δ_{i}

szögeket úgy, hogy

e (δ_{i})

párhuzamos legyen

a_{i}

-vel. Ekkor az

a_{i}

szakasz

e (α)

egyenesre való vetületének hossza

f_{i} (α) = a_{i} | cos (α - δ_{i}) |

, a vetületek összhosszát pedig

f = \sum_{i = 1}^{n} f_{i}

adja meg. Az

f

integrálátlaga a

[0, π]

intervallumon

\begin{matrix} \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f = \frac{1}{π} \sum_{i = 1}^{n} \int_{0}^{π} f_{i} = \frac{1}{π} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \int_{0}^{π} | cos (α - δ_{i}) | d α = \frac{1}{π} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \int_{0}^{π} sin α d α = \frac{2}{π} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \frac{2}{π} . \end{matrix}

Jegyezzük meg, hogy az

f_{i}

-k folytonosak és szakaszonként szigorúan konkávak, tehát ugyanez érvényes

f

-re is, speciálisan,

f

nem konstans. Ezt az előző egyenlőséggel egybevetve

\begin{matrix} {min}_{}^{}_{[0, π]}^{} f < \frac{2}{π} < {max}_{}^{}_{[0, π]}^{} f . \end{matrix}

Ezzel beláttuk, hogy létezik olyan egyenes, amelyen a szakaszok vetületének összhossza kisebb

2 / π

-nél, és hogy olyan is van, amelyen ez az összhossz

2 / π

-nél nagyobb.

Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.)

Megjegyzés. A második megoldásból ‐ ismét csak

f

folytonosságát használva ‐ az is kiolvasható, hogy létezik olyan egyenes, amelyen a vetületek összhossza éppen

2 / π

, tehát hogy van olyan

0 \leq α \leq π

, amelyre

f (α) = 2 / π

. Gyarmati Katalin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) megjegyezte, hogy csak véges sok ilyen

α

létezhet.