Kezdőlap


Feladat:	Gy.2995	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakó Zsuzsanna , Bérczi Gergely , Czirok Levente , Fejős Ibolya , Formanek Csaba , Frenkel Péter , Gáspár László , Gellén Rudolf , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Kovács Róbert , Kutalik Zoltán , Lantos Tibor , Lippner Gábor , Martel Réka , Mátrai Tamás , Méder Áron , Molnár Bence , Nagy Endre , Nagy Margit , Néveri Richárd , Nyul Gábor , Paál Krisztina , Pap Júlia , Papp Eszter , Penkalo Oxána , Pernyész Péter , Pogány Ádám , Roszik János , Sebők Katalin , Szabó Anett , Szabó Gábor , Szilágyi Jenő , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Vánik Edit , Völgyi István , Üveges Szabolcs , Zalán András , Zubcsek Péter Pál , Zöldy Balázs
Füzet:	1996/január, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: Gy.2995

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $B E$ és $A C$ metszéspontja $F$ (a metszéspont létezik, mert a $B$ -n átmenő, $A C$ -vel párhuzamos egyenes $B D$ , ami különbözik $B E$ -től). $F A E ∢ = E D B ∢$ , mert váltószögek. Az $E B A ∢$ az $E B$ húrhoz tartozó érintőszárú, az $E D B ∢$ pedig ugyanehhez a húrhoz tartozó kerületi szög, ezért $E D B ∢ = E B A ∢$ . Tehát $F A E ∢ = E B A ∢$ . Az $F A E$ és az $F B A$ háromszögek $F$ -nél levő szöge közös, $A$ -nál, illetve $B$ -nél levő szögük pedig egyenlő, így a két háromszög hasonló. A hasonlóság következtében $\frac{F E}{F A} = \frac{F A}{F B}$ , ahonnan $F A^{2} = F E \cdot F B$ . Viszont $F E \cdot F B$ az $F$ pont körre vonatkozó hatványa, ezért $F E \cdot F B = F C^{2}$ . A két egyenlőségből $F A^{2} = F C^{2}$ , tehát $F A = F C$ adódik, vagyis $F$ felezi az $A C$ szakaszt. Ezt kellett bizonyítanunk.

Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)