Feladat: Gy.2995 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bakó Zsuzsanna ,  Bérczi Gergely ,  Czirok Levente ,  Fejős Ibolya ,  Formanek Csaba ,  Frenkel Péter ,  Gáspár László ,  Gellén Rudolf ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Kovács Róbert ,  Kutalik Zoltán ,  Lantos Tibor ,  Lippner Gábor ,  Martel Réka ,  Mátrai Tamás ,  Méder Áron ,  Molnár Bence ,  Nagy Endre ,  Nagy Margit ,  Néveri Richárd ,  Nyul Gábor ,  Paál Krisztina ,  Pap Júlia ,  Papp Eszter ,  Penkalo Oxána ,  Pernyész Péter ,  Pogány Ádám ,  Roszik János ,  Sebők Katalin ,  Szabó Anett ,  Szabó Gábor ,  Szilágyi Jenő ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Vánik Edit ,  Völgyi István ,  Üveges Szabolcs ,  Zalán András ,  Zubcsek Péter Pál ,  Zöldy Balázs 
Füzet: 1996/január, 25 - 26. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/május: Gy.2995

Adott egy kör és rajta kívül egy A pont. Az A-ból húzott érintők a kört a B és C pontokban érintik. A B ponton keresztül fektessünk párhuzamost az AC egyenessel: ez a kört a D-ben metszi. Az AD egyenes metszéspontja a körrel legyen E. Igazoljuk, hogy a BE egyenes felezi az AC szakaszt.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen BE és AC metszéspontja F (a metszéspont létezik, mert a B-n átmenő, AC-vel párhuzamos egyenes BD, ami különbözik BE-től). FAE=EDB, mert váltószögek. Az EBA az EB húrhoz tartozó érintőszárú, az EDB pedig ugyanehhez a húrhoz tartozó kerületi szög, ezért EDB=EBA. Tehát FAE=EBA. Az FAE és az FBA háromszögek F-nél levő szöge közös, A-nál, illetve B-nél levő szögük pedig egyenlő, így a két háromszög hasonló. A hasonlóság következtében FEFA=FAFB, ahonnan FA2=FEFB. Viszont FEFB az F pont körre vonatkozó hatványa, ezért FEFB=FC2. A két egyenlőségből FA2=FC2, tehát FA=FC adódik, vagyis F felezi az AC szakaszt. Ezt kellett bizonyítanunk.

 Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)