Feladat: F.3069 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Elek Péter ,  Erdélyi László ,  Eöri János ,  Farkas Illés ,  Farkas Péter ,  Frenkel Péter ,  Gémes Tamás ,  Gröller Ákos ,  Kiss Zoltán ,  Lolbert Tamás ,  Makai Márton ,  Megyeri Csaba ,  Molnár Tamás ,  Nagy Katalin ,  Orosz Judit ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Prause István ,  Ruzsa Gábor ,  Somogyi Balázs ,  Torma Péter ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Urbancsek Tamás ,  Valkó Benedek ,  Varga Tamás ,  Véber Miklós ,  Vereszki Péter ,  Visontai Mirkó ,  Vörös Zoltán ,  Zsigmond Viktor 
Füzet: 1996/január, 31 - 32. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térfogat, Kocka, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/április: F.3069

A kockában az egy csúcsból kiinduló élek egy-egy saroktetraédert határoznak meg. Mekkora térfogatú részt töltenek ki a kockának azok a pontjai, amelyek legalább két saroktetraéder közös részében helyezkednek el?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kocka minden csúcsához tartozik (pontosan) egy saroktetraéder. Nevezzük főcsúcsnak a saroktetraéder azon csúcsát, amelyikből a három páronként merőleges él indul ki. Két saroktetraéder főcsúcsa vagy a kocka két szemközti csúcsa, vagy egy lap két szemközti csúcsa, vagy egy kockaél két végpontja lehet. Az első esetet az 1./a ábrán, a másodikat a 1/b. ábrán rajzoltuk meg. Nyilvánvaló, hogy ezekben az esetekben a saroktetraéderek közös részének térfogata zérus. Ezért, ha három vagy több saroktetraédert tekintünk, a közös rész térfogata mindig zérus lesz, ugyanis három (vagy több) főcsúcsból mindig kiválasztható kettő, amelyek nem szomszédos csúcsok a kockán.
Ezután elegendő meghatároznunk két szomszédos kockacsúcshoz mint főcsúcshoz tartozó saroktetraéderek közös részének térfogatát. A 1/c. ábrán ilyen tetraédereket láthatunk. A két főcsík A és D. E két tetraéder egymást metsző élei a kocka lapátlói, amelyek a megfelelő lapközéppontokban metszik egymást. Ezért a közös rész egy olyan tetraéder, amelynek két csúcsa egy kockaél két végpontja, ábránkon A és D, másik két csúcsa a kockaélre illeszkedő két lap központja I és J. Ha a kocka éle a, akkor az AID háromszög területe a24, a tetraéder ezen laphoz tartozó magassága a2, tehát a két saroktetraéder közös részének térfogata 13a24a2=a324. Minden élhez tartozik két saroktetraéder a324 térfogatú közös résszel, és két közös rész közös pontjainak halmaza legfeljebb egy él. Ezért a keresett térfogat 12a324=a32, a kocka térfogatának fele.

 Frenkel Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

 
Megjegyzés: A feladat ugyanígy oldható meg tetszőleges paralelepipedonra.