|
Feladat: |
F.3069 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Burcsi Péter , Elek Péter , Erdélyi László , Eöri János , Farkas Illés , Farkas Péter , Frenkel Péter , Gémes Tamás , Gröller Ákos , Kiss Zoltán , Lolbert Tamás , Makai Márton , Megyeri Csaba , Molnár Tamás , Nagy Katalin , Orosz Judit , Pap Gyula , Perényi Márton , Prause István , Ruzsa Gábor , Somogyi Balázs , Torma Péter , Tóth Gábor Zsolt , Urbancsek Tamás , Valkó Benedek , Varga Tamás , Véber Miklós , Vereszki Péter , Visontai Mirkó , Vörös Zoltán , Zsigmond Viktor |
Füzet: |
1996/január,
31 - 32. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térfogat, Kocka, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/április: F.3069 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kocka minden csúcsához tartozik (pontosan) egy saroktetraéder. Nevezzük főcsúcsnak a saroktetraéder azon csúcsát, amelyikből a három páronként merőleges él indul ki. Két saroktetraéder főcsúcsa vagy a kocka két szemközti csúcsa, vagy egy lap két szemközti csúcsa, vagy egy kockaél két végpontja lehet. Az első esetet az 1./a ábrán, a másodikat a 1/b. ábrán rajzoltuk meg. Nyilvánvaló, hogy ezekben az esetekben a saroktetraéderek közös részének térfogata zérus. Ezért, ha három vagy több saroktetraédert tekintünk, a közös rész térfogata mindig zérus lesz, ugyanis három (vagy több) főcsúcsból mindig kiválasztható kettő, amelyek nem szomszédos csúcsok a kockán. Ezután elegendő meghatároznunk két szomszédos kockacsúcshoz mint főcsúcshoz tartozó saroktetraéderek közös részének térfogatát. A 1/c. ábrán ilyen tetraédereket láthatunk. A két főcsík és . E két tetraéder egymást metsző élei a kocka lapátlói, amelyek a megfelelő lapközéppontokban metszik egymást. Ezért a közös rész egy olyan tetraéder, amelynek két csúcsa egy kockaél két végpontja, ábránkon és , másik két csúcsa a kockaélre illeszkedő két lap központja és . Ha a kocka éle , akkor az háromszög területe , a tetraéder ezen laphoz tartozó magassága , tehát a két saroktetraéder közös részének térfogata . Minden élhez tartozik két saroktetraéder térfogatú közös résszel, és két közös rész közös pontjainak halmaza legfeljebb egy él. Ezért a keresett térfogat , a kocka térfogatának fele.
Frenkel Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) |
Megjegyzés: A feladat ugyanígy oldható meg tetszőleges paralelepipedonra.
|
|