A kocka minden csúcsához tartozik (pontosan) egy saroktetraéder. Nevezzük főcsúcsnak a saroktetraéder azon csúcsát, amelyikből a három páronként merőleges él indul ki. Két saroktetraéder főcsúcsa vagy a kocka két szemközti csúcsa, vagy egy lap két szemközti csúcsa, vagy egy kockaél két végpontja lehet. Az első esetet az 1./a ábrán, a másodikat a 1/b. ábrán rajzoltuk meg. Nyilvánvaló, hogy ezekben az esetekben a saroktetraéderek közös részének térfogata zérus. Ezért, ha három vagy több saroktetraédert tekintünk, a közös rész térfogata mindig zérus lesz, ugyanis három (vagy több) főcsúcsból mindig kiválasztható kettő, amelyek nem szomszédos csúcsok a kockán.
Ezután elegendő meghatároznunk két szomszédos kockacsúcshoz mint főcsúcshoz tartozó saroktetraéderek közös részének térfogatát. A 1/c. ábrán ilyen tetraédereket láthatunk. A két főcsík $A$ és $D$. E két tetraéder egymást metsző élei a kocka lapátlói, amelyek a megfelelő lapközéppontokban metszik egymást. Ezért a közös rész egy olyan tetraéder, amelynek két csúcsa egy kockaél két végpontja, ábránkon $A$ és $D$, másik két csúcsa a kockaélre illeszkedő két lap központja $I$ és $J$. Ha a kocka éle $a$, akkor az $AID$ háromszög területe $\frac{a^2}{4}$, a tetraéder ezen laphoz tartozó magassága $\frac{a}{2}$, tehát a két saroktetraéder közös részének térfogata $\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3}{24}$. Minden élhez tartozik két saroktetraéder $\frac{a^3}{24}$ térfogatú közös résszel, és két közös rész közös pontjainak halmaza legfeljebb egy él. Ezért a keresett térfogat $12\cdot \frac{a^3}{24}=\frac{a^3}{2}$, a kocka térfogatának fele.