Feladat: Pontversenyen kívüli P.373 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Danyi Pál ,  Kós Géza ,  Megyesi Gábor ,  Szabó Csaba ,  Szapudi István ,  Törőcsik Jenő ,  Wolfgang Moldenhauer 
Füzet: 1984/február, 73 - 74. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: Pontversenyen kívüli P.373

Igaz-e a következő állítás : ha az {an} és a {bn} sorozat minden tagja pozitív és n=1an,n=1bn nem konvergens, akkor az n=12anbnan+bn sor sem konvergens.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az állítás nem igaz. Ezt egy ellenpéldával bizonyítjuk. Tekintsük a következő két sorozatot:

an=n2, ha n páros,an=1n2, ha n páratlan;bn=1n2, ha n páros,bn=n2, ha n páratlan.
Az {an}, {bn} sorozatok minden tagja nyilván pozitív, és a n=1an, n=1bn sorok divergensek, hiszen
n=1kan(k-1)2,n=1kbn(k-1)2
minden pozitív egész k-ra. Másrészt
n=12anbnan+bn=n=12n2+1n2<<2n=11n2<2(n=21n(n-1)+1)=2(n=2(1n-1-1n)+1)=4.


Következésképp a n=12anbnan+bn sor pozitív tagú és korlátos, tehát konvergens.
 

II. megoldás. Legyen {cn} olyan pozitív tagú sorozat, amelyre n=1cn konvergens. (Ilyen sorozat például minden mértani sorozat, melynek hányadosa 0 és 1 közé esik.) Tekintsük a következő két sorozatot:
a2n=1,a2n-1=cn, és b2n-1=1,b2n=cn
minden n természetes számra. {an} és {bn} pozitív tagú és sem n=1an, sem n=1bn nem konvergens, hiszen mindkét sorozatban végtelen sok egyes fordul elő. Másrészt a n=12anbnan+bn sor tagjaira
0<2a2n-1b2n-1a2n-1+b2n-1=2a2nb2na2n+b2n=2cncn+1<2cn,
ezért
n=12anbnan+bn=2n=12cncn+1<4n=1cn.
A n=12anbnan+bn pozitív tagú sort felülről becsültük egy konvergens sorral, amiből következik a sor konvergenciája.
 


Megjegyzés. A feladat állítása így is fogalmazható: ha {an} és {bn} pozitív tagú sorozat és a megfelelő tagok harmonikus közepéből képzett n=121/an+1/bn sor konvergens, akkor n=1an és n=1bn egyike konvergens. Megmutattuk, hogy ez az állítás nem igaz. Ha azonban a megfelelő tagok számtani közepéből képzett n=1(an+bn)/2 sor konvergens, akkor nyilván n=1an és n=1bn is korlátos, tehát konvergens. A feladat megoldásához hasonlóan belátható az is, hogy ha {an} és {bn} pozitív tagú, és a mértani közepekből képzett n=1anbn sor konvergens, ebből még nem következik n=1an vagy n=1bn konvergenciája. Hogy ezt lássuk, elég a II. megoldás jelölésével azt az {an} és {bn} sorozatot tekinteni, amelyet az a2n=b2n-1=1, a2n-1=b2n=cn2 összefüggés definiál.