Feladat: Pontversenyen kívüli P.373 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Danyi Pál ,  Kós Géza ,  Megyesi Gábor ,  Szabó Csaba ,  Szapudi István ,  Törőcsik Jenő ,  Wolfgang Moldenhauer 
Füzet: 1984/február, 73 - 74. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: Pontversenyen kívüli P.373

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az állítás nem igaz. Ezt egy ellenpéldával bizonyítjuk. Tekintsük a következő két sorozatot:

an=n2, ha n páros,an=1n2, ha n páratlan;bn=1n2, ha n páros,bn=n2, ha n páratlan.
Az {an}, {bn} sorozatok minden tagja nyilván pozitív, és a ∑n=1∞an, ∑n=1∞bn sorok divergensek, hiszen
∑n=1kan≥(k-1)2,∑n=1kbn≥(k-1)2
minden pozitív egész k-ra. Másrészt
∑n=1∞2anbnan+bn=∑n=1∞2n2+1n2<<2∑n=1∞1n2<2(∑n=2∞1n(n-1)+1)=2(∑n=2∞(1n-1-1n)+1)=4.


Következésképp a ∑n=1∞2anbnan+bn sor pozitív tagú és korlátos, tehát konvergens.
 

II. megoldás. Legyen {cn} olyan pozitív tagú sorozat, amelyre ∑n=1∞cn konvergens. (Ilyen sorozat például minden mértani sorozat, melynek hányadosa 0 és 1 közé esik.) Tekintsük a következő két sorozatot:
a2n=1,a2n-1=cn, és b2n-1=1,b2n=cn
minden n természetes számra. {an} és {bn} pozitív tagú és sem ∑n=1∞an, sem ∑n=1∞bn nem konvergens, hiszen mindkét sorozatban végtelen sok egyes fordul elő. Másrészt a ∑n=1∞2anbnan+bn sor tagjaira
0<2a2n-1b2n-1a2n-1+b2n-1=2a2nb2na2n+b2n=2cncn+1<2cn,
ezért
∑n=1∞2anbnan+bn=2∑n=1∞2cncn+1<4∑n=1∞cn.
A ∑n=1∞2anbnan+bn pozitív tagú sort felülről becsültük egy konvergens sorral, amiből következik a sor konvergenciája.
 


Megjegyzés. A feladat állítása így is fogalmazható: ha {an} és {bn} pozitív tagú sorozat és a megfelelő tagok harmonikus közepéből képzett ∑n=1∞21/an+1/bn sor konvergens, akkor ∑n=1∞an és ∑n=1∞bn egyike konvergens. Megmutattuk, hogy ez az állítás nem igaz. Ha azonban a megfelelő tagok számtani közepéből képzett ∑n=1∞(an+bn)/2 sor konvergens, akkor nyilván ∑n=1∞an és ∑n=1∞bn is korlátos, tehát konvergens. A feladat megoldásához hasonlóan belátható az is, hogy ha {an} és {bn} pozitív tagú, és a mértani közepekből képzett ∑n=1∞anbn sor konvergens, ebből még nem következik ∑n=1∞an vagy ∑n=1∞bn konvergenciája. Hogy ezt lássuk, elég a II. megoldás jelölésével azt az {an} és {bn} sorozatot tekinteni, amelyet az a2n=b2n-1=1, a2n-1=b2n=cn2 összefüggés definiál.