Feladat: Pontversenyen kívüli P.269 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balázs Iván József ,  Csaszny Márton ,  Frank József ,  Rapai Tibor ,  Réthy István ,  Tar József 
Füzet: 1978/november, 152 - 153. oldal  PDF file
Témakör(ök): Differenciálási szabályok, Fizikai jellegű feladatok, Határozatlan integrál, Számsorok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/május: Pontversenyen kívüli P.269

Egy 10m hosszú gumikötél B végpontja a földhöz van szögezve, a másik végpontjában A-ban van egy csiga és egy gonosz manó. A csiga 1cm/s sebességgel haladva elindul a kötélen B felé, a manó viszont a kötél végét az ellenkező irányba húzza 10m/s sebességgel. Eljut-e valaha a csiga a B pontba?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az első másodperc végén a kötél 2000  cm lesz, és a csiga ezalatt 1  cm-t tesz meg, tehát 1 másodperc múlva a kiindulási ponttól legalább 1  cm-re van. Így a csiga a 10  m-nek legalább az 1/2000 részét teszi meg az első másodperc végéig. Hasonlóan: a k. másodperc végén a kötél hossza (k+1)1000  cm; és a csiga attól a ponttól, ahol a másodperc kezdetén volt, legalább 1  cm-re van, így a csiga a k. másodpercben a 10  m-nek legalább az 1/(k+1) 1000-ed részét teszi meg. Ezért az n. másodperc végéig a csiga a kötélnek legalább 1/2000+1/3000+...+1/(n+1) 1000-ed részét teszi meg. Vagyis ha

1/2+1/3+...+1/(n+1)>1000(1)
egy alkalmas n-re, akkor a csiga a gonosz manó ügyködése ellenére B-be ér. Az (1) pedig teljesül, mert mint ismeretes, tetszőleges nagy K számhoz található olyan n, hogy
1+1/2+1/3+...+1/n
nagyobb, mint K.
 

II. megoldás. Legyen S(t)  cm a csiga távolsága B-től t idő múltán. Nyilván S(0)=1000, és amikor a csiga a gumikötél B végpontjába ér, S(t*)=0. Legyen v(t) a csiga sebessége a B ponthoz viszonyítva. Nyilván v(0)=999, mert a manó sebessége 1000  cm/s, a csigáé pedig ellenkező irányban 1  cm/s.
Általában a csiga sebességére a t időpillanatban a következő egyenlőség érvényes:
v(t)=S(t)(t+1)10001000-1=S(t)t+1-1.(2)
Ugyanis a t. pillanatban a kötél hossza (t+1)1000, és ezen a csiga B-től számítva S(t)-nyire van, tehát feltételezve a kötél egyenletes megnyúlását, a manó 1000  cm/s sebessége miatt a csiga tartózkodási pontja S(t)(t+1)10001000  cm/s sebességgel távolodik B-től, másrészt a csiga a kötélhez képest 1  cm/s sebességgel tart B felé. Legyen a(t) a csiga gyorsulása t idő múlva. Használjuk fel a mozgásjellemzők fizikából ismert összefüggéseit. Mivel v˙(t)=a(t), S˙(t)=v(t), a (2) egyenlőség deriválásával
a(t)=v(t)(t+1)-S(t)(t+1)2=S(t)-(t+1)-S(t)(t+1)2=-1t+1.
A gyorsulás így rendelkezésünkre áll az idő függvényében, ebből integrálással határozhatjuk meg a sebességet: v(t)=-ln(t+1)+c. Ahol a c konstans, a v(0)=999 feltétel alapján 999, tehát
v(t)=-ln(t+1)+999.(3)
Ebből (2) átrendezésével kapjuk, hogy
S(t)=(t+1)(-ln(t+1)+1000).
Láthatjuk, hogy a t*=e1000-1 értékre S(t*)=0, vagyis a csiga el000-11,9710434  sec múlva eljut B-be.
 (P. T.)