Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.269	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs Iván József , Csaszny Márton , Frank József , Rapai Tibor , Réthy István , Tar József
Füzet:	1978/november, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Differenciálási szabályok, Fizikai jellegű feladatok, Határozatlan integrál, Számsorok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: Pontversenyen kívüli P.269

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az első másodperc végén a kötél $2000 cm$ lesz, és a csiga ezalatt $1 cm$ -t tesz meg, tehát $1$ másodperc múlva a kiindulási ponttól legalább $1 cm$ -re van. Így a csiga a $10 m$ -nek legalább az $1 / 2000$ részét teszi meg az első másodperc végéig. Hasonlóan: a $k .$ másodperc végén a kötél hossza $(k + 1) \cdot 1000 cm$ ; és a csiga attól a ponttól, ahol a másodperc kezdetén volt, legalább $1 cm$ -re van, így a csiga a $k .$ másodpercben a $10 m$ -nek legalább az $1 / (k + 1)$ $1000$ -ed részét teszi meg. Ezért az $n .$ másodperc végéig a csiga a kötélnek legalább $1 / 2000 + 1 / 3000 + ... + 1 / (n + 1)$ $1000$ -ed részét teszi meg. Vagyis ha

\begin{matrix} 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1 / (n + 1) > 1000 \end{matrix}

(1)

egy alkalmas

n

-re, akkor a csiga a gonosz manó ügyködése ellenére

B

-be ér. Az

(1)

pedig teljesül, mert mint ismeretes, tetszőleges nagy

K

számhoz található olyan

n

, hogy

\begin{matrix} 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1 / n \end{matrix}

nagyobb, mint

K

II. megoldás. Legyen

S (t) cm

a csiga távolsága

B

-től

t

idő múltán. Nyilván

S (0) = 1000

, és amikor a csiga a gumikötél

B

végpontjába ér,

S (t^{*}) = 0

. Legyen

v (t)

a csiga sebessége a

B

ponthoz viszonyítva. Nyilván

v (0) = 999

, mert a manó sebessége

1000 cm/s

, a csigáé pedig ellenkező irányban

1 cm/s

.
Általában a csiga sebességére a

t

időpillanatban a következő egyenlőség érvényes:

\begin{matrix} v (t) = \frac{S (t)}{(t + 1) 1000} 1000 - 1 = \frac{S (t)}{t + 1} - 1. \end{matrix}

(2)

Ugyanis a

t .

pillanatban a kötél hossza

(t + 1) 1000

, és ezen a csiga

B

-től számítva

S (t)

-nyire van, tehát feltételezve a kötél egyenletes megnyúlását, a manó

1000 cm/s

sebessége miatt a csiga tartózkodási pontja

\frac{S (t)}{(t + 1) 1000} 1000 cm/s

sebességgel távolodik

B

-től, másrészt a csiga a kötélhez képest

1 cm/s

sebességgel tart

B

felé. Legyen

a (t)

a csiga gyorsulása

t

idő múlva. Használjuk fel a mozgásjellemzők fizikából ismert összefüggéseit. Mivel

\dot{v} (t) = a (t)

\dot{S} (t) = v (t)

, a

(2)

egyenlőség deriválásával

\begin{matrix} a (t) = \frac{v (t) (t + 1) - S (t)}{{(t + 1)}^{2}} = \frac{S (t) - (t + 1) - S (t)}{{(t + 1)}^{2}} = - \frac{1}{t + 1} . \end{matrix}

A gyorsulás így rendelkezésünkre áll az idő függvényében, ebből integrálással határozhatjuk meg a sebességet:

v (t) = - ln (t + 1) + c

. Ahol a

c

konstans, a

v (0) = 999

feltétel alapján

999

, tehát

\begin{matrix} v (t) = - ln (t + 1) + 999. \end{matrix}

(3)

Ebből

(2)

átrendezésével kapjuk, hogy

\begin{matrix} S (t) = (t + 1) (- ln (t + 1) + 1000) . \end{matrix}

Láthatjuk, hogy a

t^{*} = e^{1000} - 1

értékre

S (t^{*}) = 0

, vagyis a csiga

e^{l 000} - 1 \approx 1, 97 \cdot 10^{434} sec

múlva eljut

B

-be.
(P. T.)