Feladat: Pontversenyen kívüli P.187 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Csendes Tibor ,  Csuka Gábor ,  Dobor Tibor ,  Fodor János ,  Kecskés Csaba ,  Kelemen Dezső ,  Kiss Emil ,  Lakner Péter ,  Lelkes András ,  Meszéna Géza ,  Nemes Kálmán ,  Páles Zsolt ,  Pócsi György ,  Rapp Ferenc ,  Reszler István ,  Surján Péter ,  Tóth Barnabás ,  Vörös Katalin 
Füzet: 1974/április, 169 - 170. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Hossz, kerület, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szabályos sokszögek geometriája, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/október: Pontversenyen kívüli P.187

Egy egységnyi oldalú, konvex szabályos n-szög egymás utáni oldalegyeneseitől a belső P pont rendre d1, d2, ..., dn távolságban van. Bizonyítsuk be, hogy ekkor
1d1+1d2+...+1dn>2π.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a szabályos, egységnyi oldalú sokszög t területe: t=nϱ2, ahol ϱ a sokszög beírt körének sugarát jelöli.

 

Kössük össze a P pontot a sokszög csúcsaival. Mivel a sokszög konvex, ezért n db olyan háromszögre bomlik, amelyeknek egy‐egy oldala egységnyi hosszúságú, s a hozzá tartozó magasságok rendre d1, d2, ..., dn. Ezért t=(d1+d2+...+ +dn)/2. A fentiek miatt tehát
nϱ2=d1+d2+...+dn2,azazϱ=d1+d2+...+dnn.
A számtani és harmonikus közép közötti összefüggést alkalmazva:
ϱ=d1+d2+...+dnnn1d1+1d2+...+1dn.
Ezt átrendezve az
1d1+1d2+...+1dnnϱ(1)
egyenlőtlenséghez jutunk.
Mivel azonban a sokszög területe nagyobb, mint beírt körének területe, ezért
nϱ2>ϱ2π,azaznϱ>2π.
Ezt (1)-gyel összevetve, éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.
 

 Kecskés Csaba (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)