Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.187	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Csendes Tibor , Csuka Gábor , Dobor Tibor , Fodor János , Kecskés Csaba , Kelemen Dezső , Kiss Emil , Lakner Péter , Lelkes András , Meszéna Géza , Nemes Kálmán , Páles Zsolt , Pócsi György , Rapp Ferenc , Reszler István , Surján Péter , Tóth Barnabás , Vörös Katalin
Füzet:	1974/április, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Hossz, kerület, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szabályos sokszögek geometriája, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: Pontversenyen kívüli P.187

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a szabályos, egységnyi oldalú sokszög $t$ területe: $t = \frac{n ϱ}{2}$ , ahol $ϱ$ a sokszög beírt körének sugarát jelöli.

Kössük össze a

P

pontot a sokszög csúcsaival. Mivel a sokszög konvex, ezért

n

db olyan háromszögre bomlik, amelyeknek egy‐egy oldala egységnyi hosszúságú, s a hozzá tartozó magasságok rendre

d_{1}

d_{2}

...

d_{n}

. Ezért

t = (d_{1} + d_{2} + ... +

+ d_{n}) / 2

. A fentiek miatt tehát

\begin{matrix} \frac{n ϱ}{2} = \frac{d_{1} + d_{2} + ... + d_{n}}{2}, azaz ϱ = \frac{d_{1} + d_{2} + ... + d_{n}}{n} . \end{matrix}

A számtani és harmonikus közép közötti összefüggést alkalmazva:

\begin{matrix} ϱ = \frac{d_{1} + d_{2} + ... + d_{n}}{n} ≧ \frac{n}{\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + ... + \frac{1}{d_{n}}} . \end{matrix}

Ezt átrendezve az

\begin{matrix} \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + ... + \frac{1}{d_{n}} \geq \frac{n}{ϱ} \end{matrix}

(1)

egyenlőtlenséghez jutunk.
Mivel azonban a sokszög területe nagyobb, mint beírt körének területe, ezért

\begin{matrix} \frac{n ϱ}{2} > ϱ^{2} π, azaz \frac{n}{ϱ} > 2 π . \end{matrix}

Ezt (1)-gyel összevetve, éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.

Kecskés Csaba (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)