Feladat: Pontversenyen kívüli P.177 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bacsó Gábor ,  Bara Tamás ,  Fulmer László ,  Kiss Emil ,  Lelkes András ,  Lévai Miklós ,  Mester Tamás ,  Páles Zsolt ,  Pálffy László 
Füzet: 1974/szeptember, 20 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Vektorok skaláris szorzata, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/május: Pontversenyen kívüli P.177

Adjuk meg azokat az x, y számpárokat, amelyekre teljesül
cosx+cosy-cos(x+y)=32.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Felhasználva az ismert

cosx+cosy=2cosx+y2cosx-y2éscos(x+y)=2cos2x+y2-1
azonosságokat, egyenletünk ‐ egyszerű átalakítás után ‐ a következő alakban írható:
(2cosx+y2-cosx-y2)2+sin2x-y2=0,
ami ekvivalens az alábbi egyenletrendszerrel:
2cosx+y2=cosx-y2,(1)sinx-y2=0.(2)


(2)-ből x-y=2kπ (ahol k egész), azaz y=x-2kπ. Ezt (1)-be helyettesítve
2cos(x-kπ)=coskπ,
vagyis
2(-1)kcosx=(-1)k,
tehát
cosx=12,
s így egyenletünk megoldásai:
x=±π3+2mπ,y=±π3+2(m-k)π(k,megész),
ahol vagy mindkét helyen a plusz, vagy mindkét helyen a mínusz előjel veendő figyelembe.
 
II. megoldás. Legyenek a, b és c olyan egy közös pontból kiinduló egységvektorok, hogy ugyanazon forgási irány szerint az a, b és b, c vektorok által közrezárt szög rendre x+y, π-x legyen, ekkor a c, a közti szög π-y. Így a skaláris szorzat ismert tulajdonságai alapján az a+b+c=v vektorra
v2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=3+2(cos(x+y)+cos(πx)+cos(π-y))=3-2(cosx+cosy-cos(x+y)),


tehát
cosx+cosy-cos(x+y)=3-v2232,
és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha v=0, azaz a+b+c=0, vagyis e három egységvektor egymásba fűzése egy szabályos háromszöget ad, tehát páronként bezárt irányszögük abszolút értéke 2π3. Így
π-x=±2π/3+2nπ,π-y=±2π/3+2mπ
(n, m egészek), amiből egyszerű átalakítások után látható, hogy a megoldás
x=±π3+2kπ,y=±π3+2mπ(k,megész)
alakban írható.
 

 Páles Zsolt (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn.)