Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.177	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Bara Tamás , Fulmer László , Kiss Emil , Lelkes András , Lévai Miklós , Mester Tamás , Páles Zsolt , Pálffy László
Füzet:	1974/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Vektorok skaláris szorzata, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/május: Pontversenyen kívüli P.177

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Felhasználva az ismert

\begin{matrix} cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2} és cos (x + y) = 2 cos^{2} \frac{x + y}{2} - 1 \end{matrix}

azonosságokat, egyenletünk ‐ egyszerű átalakítás után ‐ a következő alakban írható:

\begin{matrix} {(2 cos \frac{x + y}{2} - cos \frac{x - y}{2})}^{2} + sin^{2} \frac{x - y}{2} = 0, \end{matrix}

ami ekvivalens az alábbi egyenletrendszerrel:

\begin{matrix} 2 cos \frac{x + y}{2} = cos \frac{x - y}{2}, & (1) \\ sin \frac{x - y}{2} = 0. & (2) \end{matrix}

(2)-ből

x - y = 2 k π

(ahol

k

egész), azaz

y = x - 2 k π

. Ezt (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} 2 cos (x - k π) = cos k π, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2 {(- 1)}^{k} cos x = {(- 1)}^{k}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} cos x = \frac{1}{2}, \end{matrix}

s így egyenletünk megoldásai:

\begin{matrix} x = \pm \frac{π}{3} + 2 m π, y = \pm \frac{π}{3} + 2 (m - k) π (k, m egész), \end{matrix}

ahol vagy mindkét helyen a plusz, vagy mindkét helyen a mínusz előjel veendő figyelembe.

II. megoldás. Legyenek

a

b

és

c

olyan egy közös pontból kiinduló egységvektorok, hogy ugyanazon forgási irány szerint az

a

b

és

b

c

vektorok által közrezárt szög rendre

x + y

π - x

legyen, ekkor a

c

a

közti szög

π - y

. Így a skaláris szorzat ismert tulajdonságai alapján az

a+b+c=v

vektorra

\begin{matrix} v^{2} = {(a+b+c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab+bc+ca) = \\ 3 + 2 (cos (x + y) + cos (π x) + cos (π - y)) = \\ 3 - 2 (cos x + cos y - cos (x + y)), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} cos x + cos y - cos (x + y) = \frac{3 - v^{2}}{2} \leq \frac{3}{2}, \end{matrix}

és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

v=0

, azaz

a+b+c=0

, vagyis e három egységvektor egymásba fűzése egy szabályos háromszöget ad, tehát páronként bezárt irányszögük abszolút értéke

\frac{2 π}{3}

. Így

\begin{matrix} π - x = \pm 2 π / 3 + 2 n π, π - y = \pm 2 π / 3 + 2 m π \end{matrix}

(

n

m

egészek), amiből egyszerű átalakítások után látható, hogy a megoldás

\begin{matrix} x = \pm \frac{π}{3} + 2 k π, y = \pm \frac{π}{3} + 2 m π (k, m egész) \end{matrix}

alakban írható.

Páles Zsolt (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn.)