Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.135	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Zoltán , Banai Miklós , Füredi Zoltán , Gergely István , Hermann Péter , Kelemen Dezső
Füzet:	1973/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Valós együtthatós polinomok, Polinomok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: Pontversenyen kívüli P.135

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A polinom középső három tagjának $Q (x)$ összegére alsó becslést adunk. Avégett, hogy a föltevést felhasználhassuk, $| x |$ , $| x^{2} |$ és $| x^{3} |$ mindegyike helyett vagy $| x |$ -et, vagy $| x^{3} |$ -et fogunk írni, s ezért szétválasztjuk $1 > | x | > | x |^{2} > {| x |}^{3}$ és az $1 ≦ | x | ≦ {| x |}^{2} ≦ {| x |}^{3}$ esetet.
Az abszolút értékekre ismert nagyságviszony-tételek alapján

\begin{matrix} Q (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x ≧ - | a x^{3} + b x^{2} + c x | ≧ - {| a x^{3} | + | b x^{2} | + | c x |} = \\ = - {| a | \cdot {| x |}^{3} + | b | \cdot {| x |}^{2} + | c | \cdot | x |}, \end{matrix}

ebből a föltevés vázolt alkalmazásával

\begin{matrix} ha | x | < 1, akkor Q (x) ≧ - (| a | + | b | + | c |) \cdot | x | ≧ - \sqrt[]{2} \cdot | x |, \\ ha | x | ≧ 1, akkor Q | x | ≧ - \sqrt[]{2} \cdot {| x |}^{3}, \end{matrix}

tehát a két esetben rendre

\begin{matrix} P (x) ≧ x^{4} - \sqrt[]{2} \cdot | x | + 1, ill. P (x) ≧ x^{4} - \sqrt[]{2} \cdot | x |^{3} + 1. \end{matrix}

(1)

Ezek alapján elég azt belátnunk, hogy

\begin{matrix} x^{4} & - \sqrt[]{2} x + 1 > 0, ha 0 ≦ x < 1, & (2) \\ x^{4} & - \sqrt[]{2} x^{3} + 1 > 0, ha x ≧ 1, & (3) \end{matrix}

hiszen ezekkel minden negatív

x

-re is teljesül (1) megfelelő egyenlőtlensége; végső soron pedig mert így már belátjuk, hogy

P (x)

értéke minden valós

x

-re pozitív, tehát az állítás igaz.
Állításunk (2) része

x = 0

esetén igaz. A

(+ 1)

-es tag marad a döntő mindaddig, amíg

0 < x ≦ 1 / \sqrt[]{2}

, hiszen így (2) második tagja nem kisebb, mint

(- 1)

, tehát a bal oldal nem kisebb, mint

x^{4}

. Ha pedig

1 / \sqrt[]{2} < x < 1

, akkor

\begin{matrix} x^{4} = x^{2} \cdot x^{2} > \frac{1}{2} x^{2}, \end{matrix}

és ezzel a csökkentéssel a bal oldal

\begin{matrix} {(\frac{x}{\sqrt[]{2}} - 1)}^{2} \end{matrix}

alakra hozható, ami pozitív. Ezzel (2)-t bebizonyítottuk.
Most már a (3) bizonyítására elég megjegyezni, hogy

x = 1

esetében teljesül állításunk,

x > 1

esetében pedig visszavezethető a (2)-re:

\begin{matrix} x^{4} - \sqrt[]{2} x^{3} + 1 = x^{4} ({(\frac{1}{x})}^{4} - \sqrt[]{2} (\frac{1}{x}) + 1) = x^{4} (z^{4} - \sqrt[]{2} z + 1), \end{matrix}

ahol

z = \frac{1}{x}

, és így

0 < z < 1

és az utolsó alak mindkét tényezője pozitív. ‐ Ezzel bizonyításunkat befejeztük.