Feladat: Pontversenyen kívüli P.135 Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh Zoltán ,  Banai Miklós ,  Füredi Zoltán ,  Gergely István ,  Hermann Péter ,  Kelemen Dezső 
Füzet: 1973/szeptember, 20 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Valós együtthatós polinomok, Polinomok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/március: Pontversenyen kívüli P.135

Bizonyítsuk be, hogy ha |a|+|b|+|c|2, akkor az x4+ax3+ +bx2+cx+1 polinomnak nincsenek valós gyökei.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A polinom középső három tagjának Q(x) összegére alsó becslést adunk. Avégett, hogy a föltevést felhasználhassuk, |x|, |x2| és |x3| mindegyike helyett vagy |x|-et, vagy |x3|-et fogunk írni, s ezért szétválasztjuk 1>|x|>|x|2>|x|3 és az 1|x||x|2|x|3 esetet.
Az abszolút értékekre ismert nagyságviszony-tételek alapján

Q(x)=ax3+bx2+cx-|ax3+bx2+cx|-{|ax3|+|bx2|+|cx|}==-{|a||x|3+|b||x|2+|c||x|},


ebből a föltevés vázolt alkalmazásával
ha|x|<1,akkorQ(x)-(|a|+|b|+|c|)|x|-2|x|,ha|x|1,akkorQ|x|-2|x|3,


tehát a két esetben rendre
P(x)x4-2|x|+1,ill.P(x)x4-2|x|3+1.(1)

Ezek alapján elég azt belátnunk, hogy
x4-2x+1>0,ha0x<1,(2)x4-2x3+1>0,hax1,(3)
hiszen ezekkel minden negatív x-re is teljesül (1) megfelelő egyenlőtlensége; végső soron pedig mert így már belátjuk, hogy P(x) értéke minden valós x-re pozitív, tehát az állítás igaz.
Állításunk (2) része x=0 esetén igaz. A (+1)-es tag marad a döntő mindaddig, amíg 0<x1/2, hiszen így (2) második tagja nem kisebb, mint (-1), tehát a bal oldal nem kisebb, mint x4. Ha pedig 1/2<x<1, akkor
x4=x2x2>12x2,
és ezzel a csökkentéssel a bal oldal
(x2-1)2
alakra hozható, ami pozitív. Ezzel (2)-t bebizonyítottuk.
Most már a (3) bizonyítására elég megjegyezni, hogy x=1 esetében teljesül állításunk, x>1 esetében pedig visszavezethető a (2)-re:
x4-2x3+1=x4((1x)4-2(1x)+1)=x4(z4-2z+1),
ahol z=1x, és így 0<z<1 és az utolsó alak mindkét tényezője pozitív. ‐ Ezzel bizonyításunkat befejeztük.