Feladat: Pontversenyen kívüli P.113 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh Zoltán ,  Hermann Péter ,  Reviczky János 
Füzet: 1972/november, 154 - 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Nevezetes egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Természetes számok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/október: Pontversenyen kívüli P.113

Legyenek a és b, továbbá az x0,x1,...,xn,... sorozat elemei természetes számok és legyen
An=j=0nxjaj,Bn=j=0nxjbj.
Mi az An/Bn, hányados határértéke, ha n tart a végtelenbe?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a kérdéses hányadosnak mindig van ‐ legalábbis tágabb értelemben ‐ határértéke, éspedig

AnBn={+,ha  a>b,(α)+1,  ha  a=b,(β)+0,  ha  a<b.(γ)(1)
Az állítás (α) része például azt jelenti, hogy ha a>b, akkor bármely M számhoz van olyan N szám, hogy minden N-nél nagyobb n indexre az An/Bn hányados értéke M-nél nagyobb. Először ezt bizonyítjuk be, a bizonyításhoz szükségünk van a következő egyenlőtlenségre: ha b és m tetszőleges természetes számok, akkor
(b+1)mbm+mbm-1.(2)

Az m=1 kitevő mellett (2) két oldala egyenlő. Tegyük fel, hogy már igazoltuk (2)-t minden m-nél kisebb kitevőre, akkor
(b+1)m=(b+1)(b+1)m-1(b+1){bm-1+(m-1)bm-2}==bm+mbm-1+(m-1)bm-2bm+mbm-1
miatt igaz (2) az m kitevő mellett is.
Az (2) egyenlőtlenség alapján (1α) bizonyítása a következő. Legyen M tetszőleges valós szám, és legyen k a 2Mb szorzatnál nagyobb természetes szám. Akkor a>b és (2) miatt
ak(b+1)kbk+kbk-1>2Mbbk-1=2Mbk,
tehát ak/bk>2M. Legyen n>k, akkor
AnBn>An-AkBn=An-AkBn-BkBn-BkBn.
Itt az első hányados értéke nagyobb ak/bk-nál, hiszen
bk(An-Ak)=akbkj=k+1nxjaj-k>akbkj=k+1nxjbj-k=ak(Bn-Bk).
Elég tehát N-et úgy megválasztani, hogy N>k>2Mb legyen, továbbá úgy, hogy ha n>N, akkor
Bn-BkBn>12(3)
teljesüljön. (3)-at rendezve azt kapjuk, hogy a
Bn-Bk>Bk
egyenlőtlenségnek kell teljesülnie, ami biztosan teljesül, ha n-k-1>Bk, hiszen
Bn-Bk=j=k+1nxjbj
miatt (Bn-Bk) olyan (n-k-1)-tagú összeggel egyenlő, amelynek minden tagja legalább 1. Eszerint a N=Bk+k+1 választás megfelel, ahol k a 2Mb szorzatnál nagyobb természetes szám. Ezzel az (1α) állítást beláttuk.
Az (1β) állítás nyilvánvaló, hiszen ha a=b, akkor An/Bn=1, minden n-re. Az (1γ) állítás pedig a már bizonyított (1α)-ból következik, hiszen ha a<b, akkor (1α) szerint Bn/An tart -be, tehát a reciproka, An/Bn tart 0-hoz, ha n tart -be. Ezzel állításunk mindhárom részét bebizonyítottuk, a feladatot megoldottuk.
 

Reviczky János, Balogh Zoltán, Hermann Péter