A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy a kérdéses hányadosnak mindig van ‐ legalábbis tágabb értelemben ‐ határértéke, éspedig | | (1) | Az állítás része például azt jelenti, hogy ha , akkor bármely számhoz van olyan szám, hogy minden -nél nagyobb indexre az hányados értéke -nél nagyobb. Először ezt bizonyítjuk be, a bizonyításhoz szükségünk van a következő egyenlőtlenségre: ha és tetszőleges természetes számok, akkor Az kitevő mellett (2) két oldala egyenlő. Tegyük fel, hogy már igazoltuk (2)-t minden -nél kisebb kitevőre, akkor
miatt igaz (2) az kitevő mellett is. Az (2) egyenlőtlenség alapján bizonyítása a következő. Legyen tetszőleges valós szám, és legyen a szorzatnál nagyobb természetes szám. Akkor és (2) miatt | | tehát . Legyen , akkor | | Itt az első hányados értéke nagyobb -nál, hiszen | | Elég tehát -et úgy megválasztani, hogy legyen, továbbá úgy, hogy ha , akkor teljesüljön. (3)-at rendezve azt kapjuk, hogy a egyenlőtlenségnek kell teljesülnie, ami biztosan teljesül, ha , hiszen miatt olyan -tagú összeggel egyenlő, amelynek minden tagja legalább 1. Eszerint a választás megfelel, ahol a szorzatnál nagyobb természetes szám. Ezzel az állítást beláttuk. Az állítás nyilvánvaló, hiszen ha , akkor , minden -re. Az állítás pedig a már bizonyított -ból következik, hiszen ha , akkor szerint tart -be, tehát a reciproka, tart 0-hoz, ha tart -be. Ezzel állításunk mindhárom részét bebizonyítottuk, a feladatot megoldottuk.
Reviczky János, Balogh Zoltán, Hermann Péter |
|