|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.96 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ferró József , Füredi Zoltán , Hermann Péter , Móri Tamás , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária |
Füzet: |
1971/november,
155 - 156. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Egyenletek grafikus megoldása, Trigonometrikus egyenletek, Komplex számok, Négyzetek, Szabályos sokszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1971/február: Pontversenyen kívüli P.96 |
|
Egy négyzet centruma , a köréje írható kör , ennek -n átmenő érintője . Legyen az átló -n túli meghosszabbításának pontja, és messe az egyenest a pontban, a -n átmenő, -re merőleges egyenes pedig -ben. Igaz-e, hogy ha , akkor az szakasz felező merőlegese -t a -ba írható csúcsú szabályos hétszög -val szomszédos csúcsaiban metszi?
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen egyelőre az félegyenes -n túli részének tetszőleges pontja, sugarát válasszuk egységnek, és hosszát jelöljük -val, a és egyenesek metszéspontját pedig -sel (az ábrán , , helyén , , áll).
A derékszögű háromszögből tehát . A , hasonló háromszögekben a , oldalak aránya egyenlő a hozzájuk tartozó magasságok arányával, ebből Feladatunk szerint , tehát az valós számra teljesül az egyenlet. Eszerint , hiszen mellett (1) bal oldalán és . Emiatt az szakasz felező merőlegese valóban metszi -t, jelöljük az egyik metszéspontot -vel, az szöget -vel (az ábrán , ). Szerkesztésünk szerint , és azt kell eldöntenünk, hogy ha -ra teljesül (1), akkor teljesül-e . Be fogjuk látni, hogy teljesül. Az egyenlő szárú háromszögben , azaz , és (1) a szögre a | | (2) | egyenletet jelenti. Megmutatjuk, hogy ha , akkor (2) ekvivalens a egyenlettel (azaz ha -re teljesül (3), akkor -re vagy , vagy (2) teljesül). Valóban, (3) szerint | | ebbe helyére -t helyettesítve, és szorzattá alakítva a | | egyenletet kapjuk. Az ismert | | összefüggés szerint (3) ekvivalens a egyenlettel. Mivel , azért , tehát , amely a -ben csak -re teljesül, tehát . Ezt akartuk bizonyítani. Már csak azt kell belátnunk, hogy van olyan , szám, amelyre (1) teljesül. Ha , akkor -re teljesül (4) és , tehát -re (2) is teljesül, így az számra teljesül (1), és ez a szám pozitív. Ehhez viszont (1)-ből következik, hogy , hiszen mellett (1) bal oldalának az értéke negatív.
Móri Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn.) | Megjegyzések. 1. Hasonlóan lehet megmutatni, hogy az szakaszon van olyan pont és -nek -n túli meghosszabbításán olyan , hogy az -ből által kimetszett pontot -vel , a -re merőleges egyenessel kimetszett pontot -vel jelölve, ha teljesül , akkor az szakasz felező merőlegese -ból a beleírható, csúcsú szabályos hétszögnek újabb csúcsát metszi ki. 2. Komplex számok felhasználásával a kérdés valamivel kevesebb számítás útján dönthető el. 3. A bebizonyított állítás kapcsolatban van az (1)-ből adódó egyenletnek az ún. Lill-féle eljárás útján való grafikus, közelítő megoldásával.
|
|