Feladat: Pontversenyen kívüli P.59 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balog János ,  Bendzsel Miklós ,  Boros Endre ,  Czédli Gábor ,  Duda Judit ,  Fábián Kristóf ,  Fejes Gábor ,  Ferró József ,  Filep János ,  Füredi Zoltán ,  Földvári Csongor ,  Győry György ,  Gödöllei Margit ,  Göndőcs Ferenc ,  Hermann Tamás ,  Horváth László ,  Horváth Mária ,  Horváth Miklós ,  István Mária ,  Iván László ,  Jász Péter ,  Juhász Júlia ,  Kertész András ,  Kirchner Imre ,  Kisvarga József ,  Lempert László ,  Lévai Gábor ,  Montvai György ,  Mózes László ,  Nagy Ferenc ,  Nagy István (Veszprém) ,  Páldi Vince ,  Pásztor Miklós ,  Pintér István ,  Poprádi Zsolt ,  Reviczky János ,  Simon Júlia ,  Sonkoly Pál ,  Tarsó Béla ,  Tóth Béla (Miskolc) ,  Török István ,  Vajnági András ,  Várady Tamás ,  Waszlavik László ,  Zágoni Miklós ,  Zámolyi Ferenc 
Füzet: 1970/november, 147 - 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Projektív geometria, Síkgeometriai szerkesztések, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/február: Pontversenyen kívüli P.59

Egy fényképen egy távoli futballpálya határvonalai és kapui jól felismerhetők, a középvonal azonban nem. Rajzoljuk be a középvonal képét, valamint annak a két, vele párhuzamos szakasznak a képét, amelyek a pályát három egybevágó téglalapra osztják.
 



A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Köztudomású, hogy fényképen az egy egyenesen levő, egyenlő hosszú szakaszok képei általában különböző hosszúak, ezért a kívánt osztóvonalak képeit nem rajzolhatjuk meg (a pálya oldalvonalainak képén végrehajtott) szokásos szakaszfelezés, ill. harmadolás alapján.
A fényképet ‐ és eredetijét, a φ felvételi filmet, ami sík ‐ centrális vetületnek tekinthetjük: egy (a felvevőgép látóterében, nyílásszögtartományában levő) P pont vetülete (képe) a lencse O középpontját vele összekötő egyenesnek, P vetítősugarának φ-vel való P' metszéspontja, hiszen a P-ből jövő és O-n átmenő fénysugár irányváltozás nélkül halad a lencsén át a filmig. (A tárgyról jövő többi fénysugár az előbbivel a képpontban egyesül, csupán a vegyi hatást erősíti.) Tovább csak centrális vetületre gondolunk, φ-t nem tekintjük határoltnak és csak azoknak a pontoknak tulajdonítunk vetületet, amelyek az O-n átmenő, φ-vel párhuzamos φ0 sík által kettévágott térnek φ-t nem tartalmazó felében vannak; már φ0-beli pontnak sincs vetülete.
Egy, az O-n nem átmenő e egyenes vetítősíkja az O és e által meghatározott sík, ennek φ-vel való metszésvonala az e-nek e' képe, egyenes (pontosabban: csak akkor egyenes, ha eφ és e a mondott féltérben van; különben félegyenes képe félegyenes). Az O-n átmenő egyenes képe pedig egyetlen pont.
Legyenek e1, e2 egymással párhuzamos, az O-n nem átmenő és a φ-t metsző egyenesek. Vetületük, e'1, ill. e'2, metszi egymást egy pontban, hiszen az O, e1 és O, e2 vetítősíkok metszik egymást egy, az O-n átmenő és amazokkal párhuzamos e0 egyenesben, és ennek képén, ami egy E0 pont, e'1 is, e'2 is átmegy. Ugyanígy minden az e1 gyel párhuzamos egyenes vetülete átmegy E0-on.
Ezek alapján az ABCD futballpálya (téglalap) k középvonalának keresett k' képe átmegy a kapuvonalak (alapvonalak) A'B', C'D' képei meghosszabbításának M' metszéspontján (1‐2. ábra).

 
 
1. ábra
 
 
 
2. ábra
 

Másrészt k átmegy az AC, BD átlók metszéspontján, a pálya K középpontján, aminek képe az átlók képének K' metszéspontja; ennélfogva k' az M'K' egyenesnek a pálya A'B'C'D' képébe eső szakasza.
Ugyancsak M'-n megy át a h1, h2 harmadolóvonalak keresett h1', h2' képe is, egy-egy további pontjuk pedig az ADB, ill. ADC háromszög S1, ill. S2 súlypontjának S1', S2' képe, hiszen pl. S1-nek AB-től való távolsága egyenlő az AD oldalvonal 1/3 részével. A két súlypont képét az AK, BF, ill. DK, CF súlyvonal-párok képeinek metszéspontja adja, ahol F az AD oldalvonal felezőpontja, aminek F' képét k' metszi ki A'D'-ből.
Szerkesztésünk csak olyan esetben nem hajtható végre, ha A'B'C'D', azaz M' nem jön létre. Ez azt jelenti, hogy AB és CD vetítősíkjának metszésvonala nemcsak a pálya síkjával párhuzamos ‐ ami mindig fennáll ‐, hanem φ-vel is, ennélfogva e két sík (ti. a pálya és φ) m metszésvonalával is (oldalnézetben lásd a 3. ábrán).
 
 
3. ábra
 

Így pedig k, h1 és h2 képe is párhuzamos m-mel, vagyis A'B'-vel. Ezért k' a K-n át, h1', h2' pedig a k'-ből F' útján nyert S1'-n, S2'-n át A'B'-vel párhuzamosan húzott egyenesszakasz (4. ábra).
 
 
4. ábra
 

‐ Lehetséges az is, hogy m sem jön létre, φS; ekkor a pálya képe téglalap, a szerkesztés valódi nagyságban (torzulások nélkül) elvégezhető.
 

Nagy Ferenc (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)
 

II. megoldás. Feladatunkat a szakasz felosztás ismert szerkesztése képi megfelelőjének végrehajtásával oldjuk meg, a fentiek és az alábbi észrevétel felhasználásával.
Az I. megoldás 2. ábráján A'D'B'C', a pálya képe trapéz. Ebből könynyen adódik,* hogy A'F'=F'D', és hasonlóan kaphatjuk, hogy pl. h'1-nek A'D'-n levő H1' metszéspontja harmadolja A'D'-t. Másrészt ekkor a 3. ábrán végzett meggondoláshoz hasonlóan A'D' párhuzamos φ-nek és a pálya S síkjának m metszésvonalával. Ezek szerint az m-mel párhuzamos egyeneseken levő, egyenlő hosszú szakaszok képe egyenlő hosszú.
Eszerint, ha a pálya bármely fényképén pl. A'-n át párhuzamost húzunk m-mel, ennek az A'B', C'D' egyenesek közé eső A'T' szakaszát megfelezzük és megharmadoljuk rendre az U', V', W' pontokkal (képen az 5. ábra, alaprajzban a 6. ábra), akkor k képe az M'U' egyenes (ill. ennek a pálya képébe eső szakasza), h1-é és h2-é pedig M'V', ill. M'W'. Valóban, ekkor T' tekinthető egy az S-ben levő T pont képének, melyre AT párhuzamos m-mel, ugyanígy U', V', W' az AT szakasz felező-, ill. harmadolópontjai képének, ekkor pedig M'U', M'V', M'W' a rendre U-n, V-n, W-n át AB-vel párhuzamosan húzott, tehát S-ben fekvő egyenes képe, ezek az egyenesek átteszik az AU:AT=1:2, az AV:AT=TW:AT=1:3 arányt az AD oldalvonalra képük pedig kijelöli az osztópontokat A'D'-n.
 
 
5. ábra
 
 
 
6. ábra
 

A leírt szerkesztés céljára m irányát megadja az O-n átmenő és a pálya síkjával párhuzamos S0 síknak φ-vel való m0 metszésvonala (3. ábra). Ennek az S0-nak egy pontja a fenti M', mint az O-n át AB-vel párhuzamosan húzott, vagyis az S0-ban fekvő egyenesnek a képe, egy másik pontja pedig ‐ ugyanezt a meggondolást az AD, BC párhuzamos egyenesekre megismételve ‐ A'D'-nek és B'C'-nek N' metszéspontja.
 

Simon Júlia (Győr, Kazinczy F. Gimn., IV. o. t.)

Fejes Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Egyik megoldásban sem használtuk fel, hogy a futballpálya síkja vízszintes, sem azt, hogy a film síkja függőleges (különben e két tény egyike sincs biztosítva); számos dolgozat ezekre és ,,a perspektíva törvényeire'' épült, idézésük, megokolásuk nélkül.
2. A II. megoldás módján tetszés szerinti arányt rávihetünk egy, a fényképen levő egyenesszakaszra (hacsak a képen megvan egy rajta átmenő sík két párhuzamos egyenespárjának képe). Az I. megoldás szerint csak olyan m:n arányú osztást végezhetünk, melyre m/n racionális szám, és ismert egy, a szakaszt metsző párhuzamos egyenespár képe; ehhez is esetenként bonyolult meggondolás szükséges.
3. Érkezett olyan dolgozat is, amely azt használta fel, hogy egy-egy ,,szemben álló'' kapufa talppontját összekötő egyenes párhuzamos az oldalvonalakkal, és e 2 egyenes a pályát 3 téglalapra osztja fel. A fentiekben a kapukat csak a kapuvonalak és oldalvonalak megkülönböztetésére használtuk fel.

*Pl. az 1244. gyakorlat segédtételével, lásd K. M. L. 39 (1969) 62. o.