Feladat: Gy.2896 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyukics Mihály ,  Havasi Ferenc ,  Hegyi Barnabás ,  Lippner Gábor ,  Pap Gyula ,  Rozsnyai Ádám ,  Szente Márk Zsombor ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Ugron Balázs 
Füzet: 1994/december, 485 - 486. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szöveges feladatok, Algebrai egyenlőtlenségek, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/február: Gy.2896

Két rabló osztozkodik egy zsák aranytalléron: 1 neked, 2 nekem, 3 neked, 4 nekem, 5 neked, stb., ameddig az aranytallérokból futja. A végén a soron következő rabló megkapja a maradékot. Melyik rabló jár jobban?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rendesen (vagyis nem maradéknak) a (2k-1)-edik osztási lépésben 2k-1 tallért kap az első, illetve a 2k-adikban 2k-t a második rabló.
Jelölje n a zsákban lévő tallérok számát.
Ha rendesen (nem maradék) jut a másodiknak, de már nem jut az elsőnek, akkor a második például 2+4+6+...+(2k-2)=(k2-k)-t kapott, míg az első 1+3+5+...+(2k-3)+r=(k-1)2+r-et, ahol 0r<2k-1. Kaphatott kevesebbet, többet, sőt ugyanannyit is, mint a második:
(k-1)2+r<k2-k,    ha  0r<k-1;    ekkor  2k2-3k+1n<2k2-2k;  (k-1)2+r=k2-k,    ha  r=k-1;  n=2k2-2k=2k(k-1);  (k-1)2+r>k2-k,    ha  k-1<r<2k-1;  2k2-2k<n<2k2-k.  

Ha viszont rendesen jut az elsőnek, de már nem jut a másiknak, akkor az első például 1+3+...+(2k-1)=k2-et kapott, míg a második 2+4+6+...+(2k-2)+r=k2-k+r-et, ahol 0r<2k. Ő is kaphatott kevesebbet, többet vagy ugyanannyit, mint az első:
k2>k2-k+r     ha  0r<k;    itt  2k2-kn<2k2;  k2=k2-k+r     ha  r=k;  n=2k2;  k2<k2-k+r     ha  k<r<2k;  2k2<n<2k2+k.  

Másképpen nem is kaphattak volna ugyanannyi aranyat, hiszen valamelyik mindig rendesen kap.
Ezért tehát akkor igazságos az osztozkodás, ha az n valamely k-ra 2(k-1)k vagy 2k2-tel egyenlő. (A ,,következő'' n pl. 2k(k+1)=2k2+2k.)
A fentiek szerint az első rabló két esetben járhat jól: ha 2k2-2k<n<2k2-k, illetve ha 2k2-kn<2k2, röveiden tehát ha 2k2-2k=2(k-1)k<n<2k2 tallér volt a zsákban.
Minden más (nem igazságos) osztozkodás esetén a másik rabló jár jól: tehát, ha 2k2<n<2k2+2k tallér volt a zsákban.
Megjegyzés. 2k2-2k=[(2k-1)22] és 2k2=[(2k)22] miatt azt mondhatjuk, hogy ha n egy négyzetszám felének egészrésze, akkor igazságos az osztozkodás, míg ha n egy páratlan és egy páros négyzetszám felének egészrésze közé esik, akkor az első, fordított esetben a második rabló jár jól.