Kezdőlap


Feladat:	Gy.2896	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyukics Mihály , Havasi Ferenc , Hegyi Barnabás , Lippner Gábor , Pap Gyula , Rozsnyai Ádám , Szente Márk Zsombor , Tóth Gábor Zsolt , Ugron Balázs
Füzet:	1994/december, 485 - 486. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szöveges feladatok, Algebrai egyenlőtlenségek, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/február: Gy.2896

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rendesen (vagyis nem maradéknak) a $(2 k - 1)$ -edik osztási lépésben $2 k - 1$ tallért kap az első, illetve a $2 k$ -adikban $2 k$ -t a második rabló.
Jelölje $n$ a zsákban lévő tallérok számát.
Ha rendesen (nem maradék) jut a másodiknak, de már nem jut az elsőnek, akkor a második például $2 + 4 + 6 + ... + (2 k - 2) = (k^{2} - k)$ -t kapott, míg az első $1 + 3 + 5 + ... + (2 k - 3) + r = {(k - 1)}^{2} + r$ -et, ahol $0 \leq r < 2 k - 1$ . Kaphatott kevesebbet, többet, sőt ugyanannyit is, mint a második:
$\begin{matrix} {(k - 1)}^{2} + r < k^{2} - k, & ha0 \leq r < k - 1; & ekkor & 2 k^{2} - 3 k + 1 \leq n < 2 k^{2} - 2 k; \\ {(k - 1)}^{2} + r = k^{2} - k, & har = k - 1; & n = 2 k^{2} - 2 k = 2 k (k - 1); \\ {(k - 1)}^{2} + r > k^{2} - k, & hak - 1 < r < 2 k - 1; & 2 k^{2} - 2 k < n < 2 k^{2} - k. \end{matrix}$

Ha viszont rendesen jut az elsőnek, de már nem jut a másiknak, akkor az első például $1 + 3 + ... + (2 k - 1) = k^{2}$ -et kapott, míg a második $2 + 4 + 6 + ... + (2 k - 2) + r = k^{2} - k + r$ -et, ahol $0 \leq r < 2 k$ . Ő is kaphatott kevesebbet, többet vagy ugyanannyit, mint az első:
$\begin{matrix} k^{2} > k^{2} - k + r & ha0 \leq r < k; & itt & 2 k^{2} - k \leq n < 2 k^{2}; \\ k^{2} = k^{2} - k + r & har = k; & n = 2 k^{2}; \\ k^{2} < k^{2} - k + r & hak < r < 2 k; & 2 k^{2} < n < 2 k^{2} + k. \end{matrix}$

Másképpen nem is kaphattak volna ugyanannyi aranyat, hiszen valamelyik mindig rendesen kap.
Ezért tehát akkor igazságos az osztozkodás, ha az $n$ valamely $k$ -ra $2 (k - 1) k$ vagy $2 k^{2}$ -tel egyenlő. (A ,,következő'' $n$ pl. $2 k (k + 1) = 2 k^{2} + 2 k$ .)
A fentiek szerint az első rabló két esetben járhat jól: ha $2 k^{2} - 2 k < n < 2 k^{2} - k$ , illetve ha $2 k^{2} - k \leq n < 2 k^{2}$ , röveiden tehát ha $2 k^{2} - 2 k = 2 \cdot (k - 1) \cdot k < n < 2 \cdot k^{2}$ tallér volt a zsákban.
Minden más (nem igazságos) osztozkodás esetén a másik rabló jár jól: tehát, ha $2 k^{2} < n < 2 k^{2} + 2 k$ tallér volt a zsákban.
Megjegyzés. $2 k^{2} - 2 k = [\frac{{(2 k - 1)}^{2}}{2}]$ és $2 k^{2} = [\frac{{(2 k)}^{2}}{2}]$ miatt azt mondhatjuk, hogy ha $n$ egy négyzetszám felének egészrésze, akkor igazságos az osztozkodás, míg ha $n$ egy páratlan és egy páros négyzetszám felének egészrésze közé esik, akkor az első, fordított esetben a második rabló jár jól.