Kezdőlap


Feladat:	Gy.2800	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Dőtsch András , Hegedűs Márton , Izsák Ferenc , Kóczy László
Füzet:	1993/március, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/november: Gy.2800

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két szám abszolút értéke pontosan akkor egyenlő, ha négyzeteik egyenlőek. Ezt felírva a sorozat első $n + 1$ tagjára:

\begin{matrix} a_{1}^{2} & = 0 \\ a_{2}^{2} & = {(a_{1} + 1)}^{2} = a_{1}^{2} + 2 a_{1} + 1 \\ ⋮ \\ a_{n + 1}^{2} & = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + 1. \end{matrix}

Az egyenlőségeket összeadva a következőt kapjuk:

\begin{matrix} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n + 1}^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} + 2 (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) + n, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a_{n + 1}^{2} = 2 (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) + n . \end{matrix}

Mivel

a_{n + 1}^{2} ⩾ 0,

ezért

\begin{matrix} 2 (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) + n ⩾ 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} ⩾ - \frac{1}{2} . \end{matrix}

Vizsgáljuk meg, milyen esetben állhat egyenlőség. A gondolatmenetből kiolvasható, hogy pontosan akkor, ha

a_{n + 1} = 0

. Ez

n = 2 k

esetén lehetséges is, például a

0, - 1,0, - 1, \dots,0

sorozat megfelelő. Az

n = 2 k + 1

esetben azonban

a_{n + 1} = a_{2 k + 2}

szükségképpen páratlan: a sorozatra tett feltevésből ugyanis látható, hogy a páratlan indexű elemek párosak, a páros indexűek pedig páratlan egész számok, ekkor

a_{n + 1} \neq 0,

egyenlőség nem állhat fönn.

Izsák Ferenc ( Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t.)