Feladat: Gy.2800 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  Hegedűs Márton ,  Izsák Ferenc ,  Kóczy László 
Füzet: 1993/március, 122 - 123. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/november: Gy.2800

Az a1,a2,...,an+1 sorozatra
a1=0,|a2|=|a1+1|,|a3|=|a2+1|,...,|an+1|=|an+1|.
Bizonyítsuk be, hogy
a1+a2+...+ann-12.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két szám abszolút értéke pontosan akkor egyenlő, ha négyzeteik egyenlőek. Ezt felírva a sorozat első n+1 tagjára:

a12=0a22=(a1+1)2=a12+2a1+1an+12=an2+2an+1.
Az egyenlőségeket összeadva a következőt kapjuk:
a12+a22++an+12=a12+a22++an2+2(a1+a2++an)+n,
vagyis
an+12=2(a1+a2++an)+n.
Mivel an+120, ezért
2(a1+a2++an)+n0,
amiből
a1+a2++ann-12.

Vizsgáljuk meg, milyen esetben állhat egyenlőség. A gondolatmenetből kiolvasható, hogy pontosan akkor, ha an+1=0. Ez n=2k esetén lehetséges is, például a 0,-1,0,-1,,0 sorozat megfelelő. Az n=2k+1 esetben azonban an+1=a2k+2 szükségképpen páratlan: a sorozatra tett feltevésből ugyanis látható, hogy a páratlan indexű elemek párosak, a páros indexűek pedig páratlan egész számok, ekkor an+10, egyenlőség nem állhat fönn.
 

 Izsák Ferenc ( Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o. t.)