Feladat: Gy.2797 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Maróti Gábor ,  Pete Gábor ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1993/március, 121 - 122. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Esetvizsgálat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/október: Gy.2797

Adott az egységgömb, és belsejében egy P pont, valamint egy 0<r1 szám. Határozzuk meg azon r sugarú körlapok középpontjainak mértani helyét, amelyek tartalmazzák a P pontot, és kerületük a gömb felületére illeszkedik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk egy Q középpontú r sugarú K kört, melynek kerülete az O középpontú egységgömb felületére illeszkedik, és legyen T ezen kör kerületének egy pontja.

 
 

1. ábra
 

Mivel az OQ egyenes merőleges a kör síkjára, az OQT háromszög derékszögű, ezért Pitagorasz tétele szerint O pontnak a K kör síkjától való távolsága:
OQ=OT2-TQ2=1-r2.
Így a Q pont rajta van az O körüli 1-r2 sugarú (r=1 esetben elfajuló) S gömbön, és a K kör síkja érinti ezt a gömböt a Q pontban (1. ábra).
Megfordítva: ha Q' az S gömb felületének tetszőleges pontja, akkor az S gömböt Q'pontban érintő sík az egységgömböt egy r sugarú körben metszi.
Tehát az olyan r sugarú körök középpontjainak mértani helye, amelyek kerülete az egységgömb felületére illeszkedik, az S gömb felülete.
Ha r=1 (az elfajuló S gömb csak az O pontból áll), akkor a keresett egységsugarú körök éppen az egységgömbnek az OP egyenest tartalmazó síkokkal vett síkmetszetei, és ezen körök középpontja az O pont.
A továbbiakban feltehetjük, hogy 0<r<1. A fentiek szerint ekkor a feladatban keresett mértani hely éppen a P pontot tartalmazó, az S gömböt érintő síkok érintési pontjai.
Ha OP<1-r2, azaz P az S gömb belsejében van, akkor nem létezik a P pontot tartalmazó, az S gömböt érintő sík, így a keresett mértani hely az üres halmaz.
Ha OP=1-r2, azaz P az S gömb felületén található, akkor pontosan egy olyan sík van, amely a gömböt a P pontban érinti,tehát a keresett mértani hely csak a P pontból áll.
Tegyük fel, hogy OP>1-r2, azaz P az S gömbön kívül van. Az S gömb felületének egy  U pontja pontosan akkor lesz egy P ponton áthaladó sík érintési pontja, ha a PUO háromszög derékszögű (2. ábra), azaz teljesül rá Pitagorasz tétele:
PU=OP2-OU2=OP2+r2-1.

 
 

2. ábra
 

Most a megfelelő körök középpontjainak mértani helyeként az S gömb felületének és a P középpontú OP2+r2-1 sugarú gömb felületének a metszetét, tehát egy kört kapunk, amelynek síkja merőleges a két gömb centrálisára, vagyis az OP egyenesre. Jelöljük ennek a körnek a középpontját O'-vel, sugarát r'-vel (3. ábra).
 
 

3. ábra
 

Az előbb mondottakat figyelembe véve láthatjuk, hogy az OUP derékszögű háromszög U csúcsból induló magasságának talppontja O', és az UO' magasság éppen a keletkezett kör sugara; ezért OO'=OU2OP=1-r2OP és
r'=UO'=OUUPOP=1-r2-OP2+r2-1OP.

A keresett mértani hely ebben az esetben tehát egy olyan O' középpontú r' sugarú kör, melynek síkja merőleges az OP egyenesre.