Kezdőlap


Feladat:	Gy.2797	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Maróti Gábor , Pete Gábor , Valkó Benedek
Füzet:	1993/március, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gömb és részei, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Esetvizsgálat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/október: Gy.2797

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk egy $Q$ középpontú $r$ sugarú $K$ kört, melynek kerülete az $O$ középpontú egységgömb felületére illeszkedik, és legyen $T$ ezen kör kerületének egy pontja.

1. ábra

Mivel az

O Q

egyenes merőleges a kör síkjára, az

O Q T

háromszög derékszögű, ezért Pitagorasz tétele szerint

O

pontnak a

K

kör síkjától való távolsága:

\begin{matrix} O Q = \sqrt[]{O T^{2} - T Q^{2}} = \sqrt[]{1 - r^{2}} . \end{matrix}

Így a

Q

pont rajta van az

O

körüli

\sqrt[]{1 - r^{2}}

sugarú (

r = 1

esetben elfajuló)

S

gömbön, és a

K

kör síkja érinti ezt a gömböt a

Q

pontban (1. ábra).
Megfordítva: ha

Q'

S

gömb felületének tetszőleges pontja, akkor az

S

gömböt

Q'

pontban érintő sík az egységgömböt egy

r

sugarú körben metszi.
Tehát az olyan

r

sugarú körök középpontjainak mértani helye, amelyek kerülete az egységgömb felületére illeszkedik, az

S

gömb felülete.
Ha

r = 1

(az elfajuló

S

gömb csak az

O

pontból áll), akkor a keresett egységsugarú körök éppen az egységgömbnek az

O P

egyenest tartalmazó síkokkal vett síkmetszetei, és ezen körök középpontja az

O

pont.
A továbbiakban feltehetjük, hogy

0 < r < 1

. A fentiek szerint ekkor a feladatban keresett mértani hely éppen a

P

pontot tartalmazó, az

S

gömböt érintő síkok érintési pontjai.
Ha

O P < \sqrt[]{1 - r^{2}}

, azaz

P

S

gömb belsejében van, akkor nem létezik a

P

pontot tartalmazó, az

S

gömböt érintő sík, így a keresett mértani hely az üres halmaz.
Ha

O P = \sqrt[]{1 - r^{2}}

, azaz

P

S

gömb felületén található, akkor pontosan egy olyan sík van, amely a gömböt a

P

pontban érinti,tehát a keresett mértani hely csak a

P

pontból áll.
Tegyük fel, hogy

O P > \sqrt[]{1 - r^{2}}

, azaz

P

S

gömbön kívül van. Az

S

gömb felületének egy

U

pontja pontosan akkor lesz egy

P

ponton áthaladó sík érintési pontja, ha a

P U O

háromszög derékszögű (2. ábra), azaz teljesül rá Pitagorasz tétele:

\begin{matrix} P U = \sqrt[]{O P^{2} - O U^{2}} = \sqrt[]{O P^{2} + r^{2} - 1} . \end{matrix}

2. ábra

Most a megfelelő körök középpontjainak mértani helyeként az

S

gömb felületének és a

P

középpontú

\sqrt[]{O P^{2} + r^{2} - 1}

sugarú gömb felületének a metszetét, tehát egy kört kapunk, amelynek síkja merőleges a két gömb centrálisára, vagyis az

O P

egyenesre. Jelöljük ennek a körnek a középpontját

O'

-vel, sugarát

r'

-vel (3. ábra).

3. ábra

Az előbb mondottakat figyelembe véve láthatjuk, hogy az

O U P

derékszögű háromszög

U

csúcsból induló magasságának talppontja

O'

, és az

U O'

magasság éppen a keletkezett kör sugara; ezért

O O' = \frac{O U^{2}}{O P} = \frac{1 - r^{2}}{O P}

és

\begin{matrix} r' = U O' = \frac{O U \cdot U P}{O P} = \frac{\sqrt[]{1 - r^{2}} - \sqrt[]{O P^{2} + r^{2} - 1}}{O P} . \end{matrix}

A keresett mértani hely ebben az esetben tehát egy olyan

O'

középpontú

r'

sugarú kör, melynek síkja merőleges az

O P

egyenesre.