Feladat: Gy.2787 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Érik Róbert ,  Nagy Katalin ,  Németh Zoltán ,  Szőts Tímea ,  Valkó Benedek ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1993/február, 71 - 72. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Nevezetes egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: Gy.2787

Egy háromszög beírt körének sugara r, szögfelezői fa, fb, fc. Bizonyítsuk be, hogy fa+fb+fc9r.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait a, b, c-vel, magasságait a szokásos módon ma, mb, mc-vel, területét T-vel. Világos, hogy mafa, mbfb, mcfc és 2T=ama=bmb=cmc=(a+b+c)r. Így

fa+fb+fcma+mb+mc=r(a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc),
és itt
a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc==3+(ab+ba)+(ac+ca)+(bc+cb)3+32=9.



II. megoldás. Az Erdős‐Mordell egyenlőtlenség szerint (lásd. Reiman István: A geometria és határterületei, 230. old.), ha P belső pontja egy háromszögnek (1. ábra), akkor PA+PB+PC2(PTA+PTB+PTC).
 
 

1. ábra
 

Speciálisan, ha P a beírt kör középpontja (2. ábra), akkor
PA+PB+PC6r.

 
 

2. ábra
 

A PA'; PB'; PC' szakaszok mindegyike legalább r, ezért
fa+fb+fc=PA+PA'+PB+PB'+PC+PC'9r.