Feladat: Gy.2778 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csorba István ,  Dőtsch András ,  György András ,  Hegedűs Márton ,  Horváth István ,  Koblinger Egmont ,  Maróti Attila ,  Megyesi Zoltán ,  Németh Tamás ,  Németh Zoltán ,  Pete Gábor ,  Rákóczi Bálint ,  Révai András ,  Séllei Béla ,  Szabó László ,  Szeredi Tibor ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1993/január, 20 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Transzformációk fixpontjai, fixalakzatai, Transzformációk szorzata, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/május: Gy.2778

Szerkesszünk négyszöget, ha adottak az oldalfelező merőleges egyenesei.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot geometriai transzformációk sorozatának alkalmazásával oldjuk meg. Ennek során felhasználjuk, hogy két metsző egyenesre való tükrözés egymásutánja az egyenesek metszéspontja körüli, a tengelyek által bezárt szög kétszeresével való forgatás, míg két párhuzamos egyenesre történő tükrözés eredője egy olyan eltolás, amelynek vektora az egyenesekre merőleges, és hossza a két egyenes távolságának kétszerese.

 
 

1. ábra
 

A szerkesztés tulajdonképpen 4!4=6 feladat megoldását igényli aszerint, hogy az oldalfelező merőlegeseknek megfelelő oldalak közül melyek a szomszédosak. A 6 egyforma feladat közül egyet oldunk meg, azaz feltesszük, hogy a megadott e, f, g, h egyenesekhez tartozó oldalak ebben a sorrendben követik egymást a keresett négyszögben (1. ábra). Az e és h egyenesekhez tartozó oldalak közös A végpontját úgy jellemezhetjük, hogy éppen azon pontja a síknak, amelyet rendre az e, f, g, h egyenesekre tükrözve, képként végül saját magát kapjuk. A négy tükrözés eredőjét könnyen megszerkeszthetjük: legyen e és f metszéspontja P, g és h metszéspontja Q, a PQ egyenest jelölje t2. (P=Q esetén legyen t2 egy, a P=Q ponton átmenő tetszőleges egyenes.) A t2 egyenesre P-ben mérjük fel az e és f egyenesek által bezárt α (irányított) szöget, amelynek t2-től különböző szára t1, ugyanígy megszerkeszthetjük a Q-n átmenő, t2-vel a (g és h által bezárt) β szöget bezáró t3 egyenest. Ekkor az e, f, g, h egyenesekre való tükrözések eredője megegyezik a t1, t2, t2, t3 egyenesekre történő tükrözések eredőjével, ami ‐ a t2-re való kétszeri tükrözés miatt ‐ a t1 és t3-ra való tükrözés eredője, vagyis a t1 és t3 egyenesek R metszéspontja körüli α+β szögű elforgatás. Az elforgatás egyetlen fixpontja R lévén, a keresett A csúcs éppen az R, és ennek az e, majd az f és azután a g egyenesre vonatkozó tükörképei a négyszög további csúcsai.
 
 

2. ábra
 

Ha a P, Q, R metszéspontok valamennyien léteznek és különbözők, akkor a feladatnak (e, f, g, h rögzített sorrendje mellett) egyetlen megoldása van. Nincs megoldás, ha ef,fg,gh vagy he (pl. ha f és g párhuzamos ‐ vagy egybeesik ‐, akkor az ismertetett szerkesztés minden lépése végrehajtható ugyan, de az eredményül kapott négyszög legalább háromszöggé fajul). Nincsen továbbá megoldás, ha α+β=180 és PQ. Végtelen sok megoldás van, ha P=Q és α+β=180, végül nincs megoldás, ha P=Q és α+β180 (ilyenkor a szerkesztés ponttá fajuló négyszöget adna).