|
Feladat: |
Gy.2778 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csorba István , Dőtsch András , György András , Hegedűs Márton , Horváth István , Koblinger Egmont , Maróti Attila , Megyesi Zoltán , Németh Tamás , Németh Zoltán , Pete Gábor , Rákóczi Bálint , Révai András , Séllei Béla , Szabó László , Szeredi Tibor , Valkó Benedek |
Füzet: |
1993/január,
20 - 21. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Transzformációk fixpontjai, fixalakzatai, Transzformációk szorzata, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/május: Gy.2778 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatot geometriai transzformációk sorozatának alkalmazásával oldjuk meg. Ennek során felhasználjuk, hogy két metsző egyenesre való tükrözés egymásutánja az egyenesek metszéspontja körüli, a tengelyek által bezárt szög kétszeresével való forgatás, míg két párhuzamos egyenesre történő tükrözés eredője egy olyan eltolás, amelynek vektora az egyenesekre merőleges, és hossza a két egyenes távolságának kétszerese.
1. ábra A szerkesztés tulajdonképpen feladat megoldását igényli aszerint, hogy az oldalfelező merőlegeseknek megfelelő oldalak közül melyek a szomszédosak. A egyforma feladat közül egyet oldunk meg, azaz feltesszük, hogy a megadott , , , egyenesekhez tartozó oldalak ebben a sorrendben követik egymást a keresett négyszögben (1. ábra). Az és egyenesekhez tartozó oldalak közös végpontját úgy jellemezhetjük, hogy éppen azon pontja a síknak, amelyet rendre az , , , egyenesekre tükrözve, képként végül saját magát kapjuk. A négy tükrözés eredőjét könnyen megszerkeszthetjük: legyen és metszéspontja , és metszéspontja , a egyenest jelölje . ( esetén legyen egy, a ponton átmenő tetszőleges egyenes.) A egyenesre -ben mérjük fel az és egyenesek által bezárt (irányított) szöget, amelynek -től különböző szára , ugyanígy megszerkeszthetjük a -n átmenő, -vel a ( és által bezárt) szöget bezáró egyenest. Ekkor az , , , egyenesekre való tükrözések eredője megegyezik a , , , egyenesekre történő tükrözések eredőjével, ami ‐ a -re való kétszeri tükrözés miatt ‐ a és -ra való tükrözés eredője, vagyis a és egyenesek metszéspontja körüli szögű elforgatás. Az elforgatás egyetlen fixpontja lévén, a keresett csúcs éppen az , és ennek az , majd az és azután a egyenesre vonatkozó tükörképei a négyszög további csúcsai.
2. ábra Ha a , , metszéspontok valamennyien léteznek és különbözők, akkor a feladatnak (, , , rögzített sorrendje mellett) egyetlen megoldása van. Nincs megoldás, ha vagy (pl. ha és párhuzamos ‐ vagy egybeesik ‐, akkor az ismertetett szerkesztés minden lépése végrehajtható ugyan, de az eredményül kapott négyszög legalább háromszöggé fajul). Nincsen továbbá megoldás, ha és . Végtelen sok megoldás van, ha és , végül nincs megoldás, ha és (ilyenkor a szerkesztés ponttá fajuló négyszöget adna). |
|