Feladat: Gy.2765 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gergely ,  György András ,  Maróti Attila ,  Nagy Katalin ,  Németh Tamás ,  Pete Gábor ,  Séllei Béla ,  Turchányi Judit ,  Ujváry-Menyhárt Mónika ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1992/november, 383 - 385. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/március: Gy.2765

Adott egy S sík és egy rá nem illeszkedő ABC háromszög. Van-e olyan P pont a térben, amelyből ABC-t S-re vetítve egyenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha S nem párhuzamos az ABC síkkal, akkor mindig van megfelelő P pont.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

Legyen S' a C-n átmenő, S-sel párhuzamos sík, D pedig AB és S' döféspontja (mivel ABC síkja nem párhuzamos S-sel, ezért D egyértelműen létezik, esetleg egybeesik A-val vagy B-vel, ha CA vagy CB párhuzamos S-sel). Az S' síkban D-n át vegyünk fel egy c' egyenest. A C-ből c'-re bocsátott merőleges talppontja legyen T, A' és B' pedig jelöljék a c' egyenes azon pontjait, melyekre A'T=TB'=TC (2. ábra). Az A'B'C háromszög egyenlő szárú és C-nél lévő szöge derékszög. Az AB és a c' egyenesek D-ben metszik egymást, ezért egy síkban vannak. Ugyanebben a síkban van az AA' és a BB' egyenes is. Legyen ezek metszéspontja P. (Ha AA'BB', akkor a c' egyenes változtatásával elérhetjük, hogy a párhuzamosság megszűnjön.) A P pontból az ABC háromszöget S'-re vetítve az A'B'C háromszöget kapjuk.
 
 

3. ábra
 

Könnyen belátható, hogy ha egy háromszöget egy, a síkjára nem illeszkedő pontból a síkjával párhuzamos síkra vetítünk, akkor az eredeti háromszög és a vetülete hasonló lesz (3. ábra). Vagyis, ha a PA', PB', PC egyenesek és S metszéspontja rendre A'', B'' és C'', akkor az A''B''C'' háromszög is egyenlő szárú és derékszögű. Viszont a P, A, A', A'' a P, B, B', B'' és a P, C, C'' pontok egy egyenesen vannak, tehát az A''B''C'' háromszög éppen az ABC háromszög P-ből S-re vetített képe.
Ha az ABC sík és S párhuzamos, akkor ABC minden S-en lévő vetülete hasonló ABC-hez, így csak akkor egyenlő szárú derékszögű, ha ABC is az.
Összefoglalva: mindig van megfelelő P pont, kivéve azt az esetet, amikor az ABC sík párhuzamos S-sel, és az ABC háromszög nem egyenlő szárú derékszögű háromszög.
 

Megjegyzés: Ugyanezzel a módszerrel belátható, hogy ha ABCS, akkor az ABCS-en levő vetülete tetszőleges előírt háromszöghöz hasonló lehet.