|
Feladat: |
Gy.2765 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Dombi Gergely , György András , Maróti Attila , Nagy Katalin , Németh Tamás , Pete Gábor , Séllei Béla , Turchányi Judit , Ujváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek |
Füzet: |
1992/november,
383 - 385. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Vetítések, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/március: Gy.2765 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy ha nem párhuzamos az síkkal, akkor mindig van megfelelő pont.
1. ábra
2. ábra Legyen a -n átmenő, -sel párhuzamos sík, pedig és döféspontja (mivel síkja nem párhuzamos -sel, ezért egyértelműen létezik, esetleg egybeesik -val vagy -vel, ha vagy párhuzamos -sel). Az síkban -n át vegyünk fel egy egyenest. A -ből -re bocsátott merőleges talppontja legyen , és pedig jelöljék a egyenes azon pontjait, melyekre (2. ábra). Az háromszög egyenlő szárú és -nél lévő szöge derékszög. Az és a egyenesek -ben metszik egymást, ezért egy síkban vannak. Ugyanebben a síkban van az és a egyenes is. Legyen ezek metszéspontja . (Ha , akkor a egyenes változtatásával elérhetjük, hogy a párhuzamosság megszűnjön.) A pontból az háromszöget -re vetítve az háromszöget kapjuk.
3. ábra Könnyen belátható, hogy ha egy háromszöget egy, a síkjára nem illeszkedő pontból a síkjával párhuzamos síkra vetítünk, akkor az eredeti háromszög és a vetülete hasonló lesz (3. ábra). Vagyis, ha a , , egyenesek és metszéspontja rendre , és , akkor az háromszög is egyenlő szárú és derékszögű. Viszont a , , , a , , , és a , , pontok egy egyenesen vannak, tehát az háromszög éppen az háromszög -ből -re vetített képe. Ha az sík és párhuzamos, akkor minden -en lévő vetülete hasonló -hez, így csak akkor egyenlő szárú derékszögű, ha is az. Összefoglalva: mindig van megfelelő pont, kivéve azt az esetet, amikor az sík párhuzamos -sel, és az háromszög nem egyenlő szárú derékszögű háromszög. Megjegyzés: Ugyanezzel a módszerrel belátható, hogy ha , akkor az -en levő vetülete tetszőleges előírt háromszöghöz hasonló lehet. |
|