Feladat: Gy.2763 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gergely ,  Ehreth Imre ,  Horváth Péter ,  Koblinger Egmont ,  Kóczy László ,  Németh Zoltán ,  Révai András ,  Timár Ádám ,  Turchányi Judit ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1993/január, 18 - 20. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikus geometria síkban, Háromszög-rácsok geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/március: Gy.2763

Egy szabályos háromszög minden oldalát 5 egyenlő részre osztottuk, majd az osztópontokon át a háromszög oldalaival párhuzamos egyeneseket rajzoltunk. Ezeknek az egyeneseknek és a háromszög oldalainak a háromszög belsejében és kerületén 21 metszéspontjuk van. Hány olyan szabályos háromszög van, amelynek mindhárom csúcsa ezen metszéspontok egyike?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük normálisnak azokat a szabályos háromszögeket, amelyek csúcsai a felosztással keletkezett hálózat rácspontjai, és amelyek az eredeti háromszöggel azonos állásúak (vagyis az eredeti háromszög pozitív arányú középpontos kicsinyítésével kaphatók).

 
 

1. ábra
 

Jelöljük a k egységnyi oldalhosszúságú normális háromszögek számát ak-val (nyilván 1k5; az eredeti háromszög oldalait 5 egységnyinek véve, a5=1). Legyen PQR egy tetszőleges szabályos részháromszög. Tegyük fel, hogy például az AC egyeneshez P, az AB egyeneshez Q, a BC egyeneshez R van a legközelebb. A P, Q, R pontokon át párhuzamost húzva rendre AC-vel, AB-vel, illetve BC-vel olyan UVW normális háromszöghöz jutunk, amely UV, UW, VW oldalain tartalmazza P-t, Q-t és R-et. A háromszögek szabályossága miatt UP=VR=WQ=x és PV=RW=QU=y. Ha az UVW háromszög oldala k egység, akkor 0xk-1, így UVW-be a PQR-éhez hasonló módon k darab rácsháromszög irható. Mivel minden rácsháromszög pontosan egy normális háromszögbe írható, azért az ABC-ben lévő szabályos rácsháromszögek száma: a1+2a2+3a3+4a4+5a5.
 
 

2. ábra
 

Legyen XYZ egy k oldalhosszúságú normális háromszög, és XYAB,YZBC,ZXCA. Az XYZ-t egyértelműen meghatározza az, hogy XY az AB-től, YZ a BC-től, illetve ZX a CA-tól hány sornyi távolságra van. Ha a szóban forgó távolságok a,b, illetve c, akkor 0a,b,c és a+b+c=5-k. A fenti két feltételnek eleget tevő bármely a, b, c számhármas egy k oldalhosszúságú normális háromszöget határoz meg; így ak megegyezik azon egész számokból álló a, b, c rendezett számhármasoknak a számával, amelyekre a+b+c=5-k teljesül. Itt az a értéke 0-tól 5-k-ig változhat; az a ismeretében b már csak a 0,1...,5-k-a számok valamelyike lehet, ami 6-k-a lehetőség (rögzített a és b mellett c egyértelműen meghatározott). Tehát
ak=a=05-k(6-k-a)=(6-k)2-(6-k)(5-k)2=(6-k)(7-k)2.
Így a keresett háromszögek száma:
15+210+36+43+51=70.

 

Megjegyzés. Ha 5 helyett n részre osztjuk az ABC háromszög oldalait, akkor a szabályos rácsháromszögek száma:
k=1nk(n+1-k)(n+2-k)2=n(n+1)(n+2)(n+3)24=(n+34).