|
Feladat: |
Gy.2763 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Dombi Gergely , Ehreth Imre , Horváth Péter , Koblinger Egmont , Kóczy László , Németh Zoltán , Révai András , Timár Ádám , Turchányi Judit , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek |
Füzet: |
1993/január,
18 - 20. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinatorikus geometria síkban, Háromszög-rácsok geometriája, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/március: Gy.2763 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nevezzük normálisnak azokat a szabályos háromszögeket, amelyek csúcsai a felosztással keletkezett hálózat rácspontjai, és amelyek az eredeti háromszöggel azonos állásúak (vagyis az eredeti háromszög pozitív arányú középpontos kicsinyítésével kaphatók).
1. ábra Jelöljük a egységnyi oldalhosszúságú normális háromszögek számát -val (nyilván ; az eredeti háromszög oldalait egységnyinek véve, ). Legyen egy tetszőleges szabályos részháromszög. Tegyük fel, hogy például az egyeneshez , az egyeneshez , a egyeneshez van a legközelebb. A , , pontokon át párhuzamost húzva rendre -vel, -vel, illetve -vel olyan normális háromszöghöz jutunk, amely , , oldalain tartalmazza -t, -t és -et. A háromszögek szabályossága miatt és . Ha az háromszög oldala egység, akkor , így -be a -éhez hasonló módon darab rácsháromszög irható. Mivel minden rácsháromszög pontosan egy normális háromszögbe írható, azért az -ben lévő szabályos rácsháromszögek száma: .
2. ábra Legyen egy oldalhosszúságú normális háromszög, és . Az -t egyértelműen meghatározza az, hogy az -től, a -től, illetve a -tól hány sornyi távolságra van. Ha a szóban forgó távolságok , illetve , akkor és . A fenti két feltételnek eleget tevő bármely , , számhármas egy oldalhosszúságú normális háromszöget határoz meg; így megegyezik azon egész számokból álló , , rendezett számhármasoknak a számával, amelyekre teljesül. Itt az értéke -tól -ig változhat; az ismeretében már csak a számok valamelyike lehet, ami lehetőség (rögzített és mellett egyértelműen meghatározott). Tehát | | Így a keresett háromszögek száma:
Megjegyzés. Ha helyett részre osztjuk az háromszög oldalait, akkor a szabályos rácsháromszögek száma: | |
|
|