Kezdőlap


Feladat:	Gy.2763	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi Gergely , Ehreth Imre , Horváth Péter , Koblinger Egmont , Kóczy László , Németh Zoltán , Révai András , Timár Ádám , Turchányi Judit , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek
Füzet:	1993/január, 18 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikus geometria síkban, Háromszög-rácsok geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/március: Gy.2763

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük normálisnak azokat a szabályos háromszögeket, amelyek csúcsai a felosztással keletkezett hálózat rácspontjai, és amelyek az eredeti háromszöggel azonos állásúak (vagyis az eredeti háromszög pozitív arányú középpontos kicsinyítésével kaphatók).

1. ábra

Jelöljük a

k

egységnyi oldalhosszúságú normális háromszögek számát

a_{k}

-val (nyilván

1 ⩽ k ⩽ 5

; az eredeti háromszög oldalait

5

egységnyinek véve,

a_{5} = 1

). Legyen

P Q R

egy tetszőleges szabályos részháromszög. Tegyük fel, hogy például az

A C

egyeneshez

P

, az

A B

egyeneshez

Q

, a

B C

egyeneshez

R

van a legközelebb. A

P

Q

R

pontokon át párhuzamost húzva rendre

A C

-vel,

A B

-vel, illetve

B C

-vel olyan

U V W

normális háromszöghöz jutunk, amely

U V

U W

V W

oldalain tartalmazza

P

-t,

Q

-t és

R

-et. A háromszögek szabályossága miatt

U P = V R = W Q = x

és

P V = R W = Q U = y

. Ha az

U V W

háromszög oldala

k

egység, akkor

0 ⩽ x ⩽ k - 1

, így

U V W

-be a

P Q R

-éhez hasonló módon

k

darab rácsháromszög irható. Mivel minden rácsháromszög pontosan egy normális háromszögbe írható, azért az

A B C

-ben lévő szabályos rácsháromszögek száma:

a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5}

2. ábra

Legyen

X Y Z

egy

k

oldalhosszúságú normális háromszög, és

X Y ∥ A B, Y Z ∥ B C, Z X ∥ C A

. Az

X Y Z

-t egyértelműen meghatározza az, hogy

X Y

A B

-től,

Y Z

B C

-től, illetve

Z X

C A

-tól hány sornyi távolságra van. Ha a szóban forgó távolságok

a, b

, illetve

c

, akkor

0 ⩽ a, b, c

és

a + b + c = 5 - k

. A fenti két feltételnek eleget tevő bármely

a

b

c

számhármas egy

k

oldalhosszúságú normális háromszöget határoz meg; így

a_{k}

megegyezik azon egész számokból álló

a

b

c

rendezett számhármasoknak a számával, amelyekre

a + b + c = 5 - k

teljesül. Itt az

a

értéke

0

-tól

5 - k

-ig változhat; az

a

ismeretében

b

már csak a

0,1 ...,5 - k - a

számok valamelyike lehet, ami

6 - k - a

lehetőség (rögzített

a

és

b

mellett

c

egyértelműen meghatározott). Tehát

\begin{matrix} a_{k} = \sum_{a = 0}^{5 - k} (6 - k - a) = {(6 - k)}^{2} - \frac{(6 - k) (5 - k)}{2} = \frac{(6 - k) (7 - k)}{2} . \end{matrix}

Így a keresett háromszögek száma:

\begin{matrix} 15 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 70. \end{matrix}

Megjegyzés. Ha

5

helyett

n

részre osztjuk az

A B C

háromszög oldalait, akkor a szabályos rácsháromszögek száma:

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} k \cdot \frac{(n + 1 - k) (n + 2 - k)}{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}{24} = (\binom{n + 3}{4}) . \end{matrix}