Feladat: Gy.2747 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bajszi István ,  Becsei András ,  Dombi Gergely ,  Dőtsch András ,  Falusi István ,  Gyarmati Katalin ,  Hegedűs Márton ,  Hertz István ,  Hüber Erik ,  Koblinger Egmont ,  Kóczy László ,  Kotosz Balázs ,  Kovács Baldvin ,  Németh Tamás ,  Németh Zoltán ,  Pete Gábor ,  Rákóczi Bálint ,  Révai András ,  Séllei Béla ,  Somodi László ,  Turchányi Judit ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1992/október, 303 - 304. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Mértani helyek, Háromszög területe, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/január: Gy.2747

Határozzuk meg a síkon azon pontok mértani helyét, amelyekre nézve a sík két adott egyenesétől mért távolságok összege előírt állandó.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az előírt állandót c-vel, a két adott egyenest pedig e-vel és f-el. Két esetet különböztetünk meg.
Ha e és f két egymástól d távolságra lévő párhuzamos egyenes, akkor könnyen látható, hogy a mértani hely az üres halmaz, ha d>c, az e és f közti végtelen sáv, ha d=c, illetve két, e-vel és f-fel párhuzamos egyenes, melyek távolsága e-től és f-től c-d2 és c+d2, ha d<c. Ezek a lehetőségek az 1/a,b,c ábrákon láthatók.

 
 

1/a ábra
 

 
 

1/b ábra
 

 
 

1/c ábra
 

Ha e és f két metsző egyenes, akkor ezek a síkot négy szögtartományra osztják. Vizsgáljuk ezek egyikét. Legyen a két egyenes metszéspontja O, az e-től, illetve f-től c távolságra lévő, velük párhuzamos, a szögtartományban lévő félegyenesek kezdőpontja pedig A, illetve B (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

Megmutatjuk, hogy ebben a szögtartományban a mértani hely az AB szakasz. Legyen P az AB szakasz tetszőleges pontja, Ta az A-ból e-re, T1 és T2 pedig a P-ből e-re és f-re bocsátott merőlegesek talppontjai. A definíciója miatt ATa=c. Az AOB háromszögben OA=OB, továbbá az AOB háromszög területe megegyezik az AOP és a BOP háromszögek területeinek összegével, vagyis:
12OBATa=12OAPT2+12OBPT1.
Azaz
c=ATa=PT2+PT1,
tehát P hozzátartozik a mértani helyhez. Ha a Q pont nincs rajta az AB szakaszon, akkor messe a Q-n átmenő, AB-vel párhuzamos egyenes e-t, illetve f-t a B', illetve A' pontokban, legyen továbbá az A'-ből e-re bocsátott merőleges talppontja Ta (3. ábra).
 
 

3. ábra
 

Ekkor az előzőekben bizonyítottak alapján a Q pont e-től és f-től való távolságának összege A'T'ac. Tehát Q nem tartozik hozzá a mértani helyhez.
Hasonlóan láthatjuk be, hogy a mértani hely a másik három szögtartományban is egy-egy szakasz. Ezen szakaszok végpontjai páronként közösek, így a szakaszok egy négyszöget alkotnak. A szakaszok merőlegesek a megfelelő szögtartomány belső szögfelezőjére, tehát az általuk alkotott négyszög téglalap; vagyis a keresett mértani hely egy téglalap négy oldala (4. ábra).
 
 

4. ábra