|
Feladat: |
Gy.2747 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bajszi István , Becsei András , Dombi Gergely , Dőtsch András , Falusi István , Gyarmati Katalin , Hegedűs Márton , Hertz István , Hüber Erik , Koblinger Egmont , Kóczy László , Kotosz Balázs , Kovács Baldvin , Németh Tamás , Németh Zoltán , Pete Gábor , Rákóczi Bálint , Révai András , Séllei Béla , Somodi László , Turchányi Judit , Valkó Benedek |
Füzet: |
1992/október,
303 - 304. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Mértani helyek, Háromszög területe, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/január: Gy.2747 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az előírt állandót -vel, a két adott egyenest pedig -vel és -el. Két esetet különböztetünk meg. Ha és két egymástól távolságra lévő párhuzamos egyenes, akkor könnyen látható, hogy a mértani hely az üres halmaz, ha , az és közti végtelen sáv, ha , illetve két, -vel és -fel párhuzamos egyenes, melyek távolsága -től és -től és , ha . Ezek a lehetőségek az 1/a,b,c ábrákon láthatók.
1/a ábra
1/b ábra
1/c ábra Ha és két metsző egyenes, akkor ezek a síkot négy szögtartományra osztják. Vizsgáljuk ezek egyikét. Legyen a két egyenes metszéspontja , az -től, illetve -től távolságra lévő, velük párhuzamos, a szögtartományban lévő félegyenesek kezdőpontja pedig , illetve (2. ábra).
2. ábra Megmutatjuk, hogy ebben a szögtartományban a mértani hely az szakasz. Legyen az szakasz tetszőleges pontja, az -ból -re, és pedig a -ből -re és -re bocsátott merőlegesek talppontjai. definíciója miatt . Az háromszögben , továbbá az háromszög területe megegyezik az és a háromszögek területeinek összegével, vagyis: | | Azaz tehát hozzátartozik a mértani helyhez. Ha a pont nincs rajta az szakaszon, akkor messe a -n átmenő, -vel párhuzamos egyenes -t, illetve -t a , illetve pontokban, legyen továbbá az -ből -re bocsátott merőleges talppontja (3. ábra).
3. ábra Ekkor az előzőekben bizonyítottak alapján a pont -től és -től való távolságának összege . Tehát nem tartozik hozzá a mértani helyhez. Hasonlóan láthatjuk be, hogy a mértani hely a másik három szögtartományban is egy-egy szakasz. Ezen szakaszok végpontjai páronként közösek, így a szakaszok egy négyszöget alkotnak. A szakaszok merőlegesek a megfelelő szögtartomány belső szögfelezőjére, tehát az általuk alkotott négyszög téglalap; vagyis a keresett mértani hely egy téglalap négy oldala (4. ábra).
4. ábra |
|