Kezdőlap


Feladat:	Gy.2747	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajszi István , Becsei András , Dombi Gergely , Dőtsch András , Falusi István , Gyarmati Katalin , Hegedűs Márton , Hertz István , Hüber Erik , Koblinger Egmont , Kóczy László , Kotosz Balázs , Kovács Baldvin , Németh Tamás , Németh Zoltán , Pete Gábor , Rákóczi Bálint , Révai András , Séllei Béla , Somodi László , Turchányi Judit , Valkó Benedek
Füzet:	1992/október, 303 - 304. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Mértani helyek, Háromszög területe, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: Gy.2747

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az előírt állandót $c$ -vel, a két adott egyenest pedig $e$ -vel és $f$ -el. Két esetet különböztetünk meg.
Ha $e$ és $f$ két egymástól $d$ távolságra lévő párhuzamos egyenes, akkor könnyen látható, hogy a mértani hely az üres halmaz, ha $d > c$ , az $e$ és $f$ közti végtelen sáv, ha $d = c$ , illetve két, $e$ -vel és $f$ -fel párhuzamos egyenes, melyek távolsága $e$ -től és $f$ -től $\frac{c - d}{2}$ és $\frac{c + d}{2}$ , ha $d < c$ . Ezek a lehetőségek az 1/a,b,c ábrákon láthatók.

1/a ábra

1/b ábra

1/c ábra

e

és

f

két metsző egyenes, akkor ezek a síkot négy szögtartományra osztják. Vizsgáljuk ezek egyikét. Legyen a két egyenes metszéspontja

O

, az

e

-től, illetve

f

-től

c

távolságra lévő, velük párhuzamos, a szögtartományban lévő félegyenesek kezdőpontja pedig

A

, illetve

B

(2. ábra).

2. ábra

Megmutatjuk, hogy ebben a szögtartományban a mértani hely az

A B

szakasz. Legyen

P

A B

szakasz tetszőleges pontja,

T_{a}

A

-ból

e

-re,

T_{1}

és

T_{2}

pedig a

P

-ből

e

-re és

f

-re bocsátott merőlegesek talppontjai.

A

definíciója miatt

A T_{a} = c

. Az

A O B

háromszögben

O A = O B

, továbbá az

A O B

háromszög területe megegyezik az

A O P

és a

B O P

háromszögek területeinek összegével, vagyis:

\begin{matrix} \frac{1}{2} O B \cdot A T_{a} = \frac{1}{2} O A \cdot P T_{2} + \frac{1}{2} O B \cdot P T_{1} . \end{matrix}

Azaz

\begin{matrix} c = A T_{a} = P T_{2} + P T_{1}, \end{matrix}

tehát

P

hozzátartozik a mértani helyhez. Ha a

Q

pont nincs rajta az

A B

szakaszon, akkor messe a

Q

-n átmenő,

A B

-vel párhuzamos egyenes

e

-t, illetve

f

-t a

B'

, illetve

A'

pontokban, legyen továbbá az

A'

-ből

e

-re bocsátott merőleges talppontja

T_{a}

(3. ábra).

3. ábra

Ekkor az előzőekben bizonyítottak alapján a

Q

pont

e

-től és

f

-től való távolságának összege

A' T'_{a} \neq c

. Tehát

Q

nem tartozik hozzá a mértani helyhez.
Hasonlóan láthatjuk be, hogy a mértani hely a másik három szögtartományban is egy-egy szakasz. Ezen szakaszok végpontjai páronként közösek, így a szakaszok egy négyszöget alkotnak. A szakaszok merőlegesek a megfelelő szögtartomány belső szögfelezőjére, tehát az általuk alkotott négyszög téglalap; vagyis a keresett mértani hely egy téglalap négy oldala (4. ábra).

4. ábra